Основы мат. анализа Примеры

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y - 889 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $889$ к обеим частям уравнения.

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $11 x^{2} + 22 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 11$

$b = 22$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{22}{2 \cdot 11}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $22$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $22$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 11$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 (11)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{11}{11}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{11}{11}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{22^{2}}{4 \cdot 11}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $22$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{484}{4 \cdot 11}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $11$ .

$e = 0 - \frac{484}{44}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $484$ на $44$ .

$e = 0 - 1 \cdot 11$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $11$ .

$e = 0 - 11$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $11$ из $0$ .

$e = - 11$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11$

Этап 1.3

Подставим $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ вместо $11 x^{2} + 22 x$ в уравнение $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11 - 25 y^{2} + 250 y = 889$

Этап 1.4

Перенесем $- 11$ в правую часть уравнения, прибавив $11$ к обеим частям.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 y^{2} + 250 y = 889 + 11$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- 25 y^{2} + 250 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 25$

$b = 250$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{250}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $250$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $250$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 (- 25)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{125}{- 25}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $125$ и $- 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$d = \frac{25 (5)}{- 25}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Этап 1.5.3.2.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$d = - 5$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{250^{2}}{4 \cdot - 25}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $250$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot - 25}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 25$ .

$e = 0 - \frac{62500}{- 100}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $62500$ на $- 100$ .

$e = 0 - - 625$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 625$ .

$e = 0 + 625$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $625$ .

$e = 625$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ .

$- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$

Этап 1.6

Подставим $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ вместо $- 25 y^{2} + 250 y$ в уравнение $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} + 625 = 889 + 11$

Этап 1.7

Перенесем $625$ в правую часть уравнения, прибавив $625$ к обеим частям.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 889 + 11 - 625$

Этап 1.8

Упростим $889 + 11 - 625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $889$ и $11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 900 - 625$

Этап 1.8.2

Вычтем $625$ из $900$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 275$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $275$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{11 {(x + 1)}^{2}}{275} - \frac{25 {(y - 5)}^{2}}{275} = \frac{275}{275}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{11} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 5$

$b = \sqrt{11}$

$k = 5$

$h = - 1$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 1, 5)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + {(\sqrt{11})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{25 + 11^{1}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{25 + 11}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $25$ и $11$ .

$\sqrt{36}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$6$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, 5)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 6, 5)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(4, 5), (- 6, 5)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(5, 5)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 7, 5)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(5, 5), (- 7, 5)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}}{5}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + {\sqrt{11}}^{2}}}{5}$

Этап 8.3.2

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

Этап 8.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

Этап 8.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Этап 8.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Этап 8.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{1}}}{5}$

Этап 8.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{25 + 11}}{5}$

Этап 8.3.3

Добавим $25$ и $11$ .

$\frac{\sqrt{36}}{5}$

Этап 8.3.4

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}}}{5}$

Этап 8.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{6}{5}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{{\sqrt{11}}^{2}}{6}$

Этап 9.3

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Этап 9.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Этап 9.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

Этап 9.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

Этап 9.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{11^{1}}{6}$

Этап 9.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{11}{6}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Этап 11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

Этап 11.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} x + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Этап 11.2.3

Объединим $\frac{\sqrt{11}}{5}$ и $x$ .

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Этап 11.2.4

Умножим $\frac{\sqrt{11}}{5}$ на $1$ .

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Этап 12.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

Этап 12.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} x - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Этап 12.2.3

Объединим $x$ и $\frac{\sqrt{11}}{5}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Этап 12.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5, y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(- 1, 5)$

Вершины: $(4, 5), (- 6, 5)$

Фокусы: $(5, 5), (- 7, 5)$

Эксцентриситет: $\frac{6}{5}$

Фокальный параметр: $\frac{11}{6}$

Асимптоты: $y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$ , $y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Этап 15