Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt[4]{x} - 3$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt[4]{x} - 3$ в виде уравнения.

$y = \sqrt[4]{x} - 3$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[4]{y} - 3$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[4]{y} - 3 = x$ .

$\sqrt[4]{y} - 3 = x$

Этап 3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt[4]{y} = x + 3$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${\sqrt[4]{y}}^{4} = {(x + 3)}^{4}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{4}}$ .

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(x + 3)}^{4}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x + 3)}^{4}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x + 3)}^{4}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(x + 3)}^{4}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(x + 3)}^{4}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x + 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = x^{4} + 4 x^{3} \cdot 3 + 6 x^{2} \cdot 3^{2} + 4 x \cdot 3^{3} + 3^{4}$

Этап 3.4.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Умножим $3$ на $4$ .

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 3^{2} + 4 x \cdot 3^{3} + 3^{4}$

Этап 3.4.3.1.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 9 + 4 x \cdot 3^{3} + 3^{4}$

Этап 3.4.3.1.2.3

Умножим $9$ на $6$ .

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot 3^{3} + 3^{4}$

Этап 3.4.3.1.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot 27 + 3^{4}$

Этап 3.4.3.1.2.5

Умножим $27$ на $4$ .

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 3^{4}$

Этап 3.4.3.1.2.6

Возведем $3$ в степень $4$ .

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$ обратной к $f (x) = \sqrt[4]{x} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = {\sqrt[4]{x}}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot - 3 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Перепишем ${\sqrt[4]{x}}^{4}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot - 3 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot - 3 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x^{\frac{4}{4}} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot - 3 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.2.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot - 3 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.1.5

Упростим.

Этап 5.2.3.2.2

Перепишем ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 4 \sqrt[4]{x^{3}} \cdot - 3 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.4

Перепишем ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.4.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{2}{4}} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{2 (1)}{4}} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.2.3.2.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{1}{2}} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.4.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 \sqrt{x} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.5

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 \sqrt{x} \cdot 9 + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.6

Умножим $9$ на $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.7

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.8

Умножим $- 27$ на $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.2.9

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 ({\sqrt[4]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Перепишем ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.4.2

Перепишем ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.4.2.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2}{4}} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 (1)}{4}} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.4.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.4.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.2.3.4.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.4.2.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.4.3

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} - 9 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.4.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} - 9 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 9 + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.4.5

Умножим $9$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} - 9 \sqrt{x} + 27 \sqrt[4]{x} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.4.6

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} - 9 \sqrt{x} + 27 \sqrt[4]{x} - 27) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 12 (- 9 \sqrt{x}) + 12 (27 \sqrt[4]{x}) + 12 \cdot - 27 + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Умножим $- 9$ на $12$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 12 (27 \sqrt[4]{x}) + 12 \cdot - 27 + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.6.2

Умножим $27$ на $12$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} + 12 \cdot - 27 + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.6.3

Умножим $12$ на $- 27$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.7

Перепишем ${(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2}$ в виде $(\sqrt[4]{x} - 3) (\sqrt[4]{x} - 3)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 ((\sqrt[4]{x} - 3) (\sqrt[4]{x} - 3)) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.8

Развернем $(\sqrt[4]{x} - 3) (\sqrt[4]{x} - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (\sqrt[4]{x} (\sqrt[4]{x} - 3) - 3 (\sqrt[4]{x} - 3)) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 (\sqrt[4]{x} - 3)) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 5.2.3.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1.1

Умножим $\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1.1.1

Возведем $\sqrt[4]{x}$ в степень $1$ .

Этап 5.2.3.9.1.1.2

Возведем $\sqrt[4]{x}$ в степень $1$ .

Этап 5.2.3.9.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 ({\sqrt[4]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.9.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 ({\sqrt[4]{x}}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.9.1.2

Перепишем ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.9.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.9.1.2.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (x^{\frac{2}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.9.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (x^{\frac{2 (1)}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.9.1.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.9.1.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.2.3.9.1.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.9.1.2.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.9.1.3

Перенесем $- 3$ влево от $\sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (\sqrt{x} - 3 \cdot \sqrt[4]{x} - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.9.1.4

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (\sqrt{x} - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \sqrt[4]{x} + 9) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.9.2

Вычтем $3 \sqrt[4]{x}$ из $- 3 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (\sqrt{x} - 6 \sqrt[4]{x} + 9) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 \sqrt{x} + 54 (- 6 \sqrt[4]{x}) + 54 \cdot 9 + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.11.1

Умножим $- 6$ на $54$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 \sqrt{x} - 324 \sqrt[4]{x} + 54 \cdot 9 + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.11.2

Умножим $54$ на $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 \sqrt{x} - 324 \sqrt[4]{x} + 486 + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Этап 5.2.3.12

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 5.2.3.13

Умножим $108$ на $- 3$ .

Этап 5.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим противоположные члены в $x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 \sqrt{x} - 324 \sqrt[4]{x} + 486 + 108 \sqrt[4]{x} - 324 + 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Добавим $- 12 \sqrt[4]{x^{3}}$ и $12 \sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 0 + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 \sqrt{x} - 324 \sqrt[4]{x} + 486 + 108 \sqrt[4]{x} - 324 + 81$

Этап 5.2.4.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 \sqrt{x} - 324 \sqrt[4]{x} + 486 + 108 \sqrt[4]{x} - 324 + 81$

Этап 5.2.4.1.3

Вычтем $324 \sqrt[4]{x}$ из $324 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 - 108 \sqrt{x} + 0 - 324 + 54 \sqrt{x} + 486 + 108 \sqrt[4]{x} - 324 + 81$

Этап 5.2.4.1.4

Добавим $x + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 - 108 \sqrt{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 - 108 \sqrt{x} - 324 + 54 \sqrt{x} + 486 + 108 \sqrt[4]{x} - 324 + 81$

Этап 5.2.4.1.5

Добавим $- 108 \sqrt[4]{x}$ и $108 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 54 \sqrt{x} + 0 + 81 - 108 \sqrt{x} - 324 + 54 \sqrt{x} + 486 - 324 + 81$

Этап 5.2.4.1.6

Добавим $x + 54 \sqrt{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 54 \sqrt{x} + 81 - 108 \sqrt{x} - 324 + 54 \sqrt{x} + 486 - 324 + 81$

Этап 5.2.4.2

Вычтем $108 \sqrt{x}$ из $54 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 81 - 54 \sqrt{x} - 324 + 54 \sqrt{x} + 486 - 324 + 81$

Этап 5.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x + 81 - 54 \sqrt{x} - 324 + 54 \sqrt{x} + 486 - 324 + 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Добавим $- 54 \sqrt{x}$ и $54 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 81 + 0 - 324 + 486 - 324 + 81$

Этап 5.2.4.3.2

Добавим $x + 81$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 81 - 324 + 486 - 324 + 81$

Этап 5.2.4.4

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Вычтем $324$ из $81$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 243 + 486 - 324 + 81$

Этап 5.2.4.4.2

Добавим $- 243$ и $486$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 243 - 324 + 81$

Этап 5.2.4.4.3

Вычтем $324$ из $243$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 81 + 81$

Этап 5.2.4.5

Объединим противоположные члены в $x - 81 + 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.1

Добавим $- 81$ и $81$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 0$

Этап 5.2.4.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = \sqrt[4]{x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81} - 3$

Этап 5.3.3

Избавимся от скобок.

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = \sqrt[4]{x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81} - 3$

Этап 5.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сопоставим все члены с членами бинома Ньютона.

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = \sqrt[4]{x^{4} + 4 \cdot (3 x^{3}) + 6 \cdot (3^{2} x^{2}) + 4 \cdot (3^{3} x) + 3^{4}} - 3$

Этап 5.3.4.2

Разложим $x^{4} + 4 \cdot 3 x^{3} + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3^{3} x + 3^{4}$ на множители с помощью бинома Ньютона.

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = \sqrt[4]{{(x + 3)}^{4}} - 3$

Этап 5.3.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = x + 3 - 3$

Этап 5.3.5

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = x + 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$ — обратная к $f (x) = \sqrt[4]{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$