Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{1 - x}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{2} - 2 x - 1}{1 - x}$ не определено.

$x = 1$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок $1$ и $- x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 1}{- x + 1}$

Этап 5.2

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 5.3

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $- x$ .

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$

Этап 5.4

Умножим новое частное на делитель.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 5.5

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x$ .

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 5.6

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						-	$x$

Этап 5.7

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						-	$x$	-	$1$

Этап 5.8

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $- x$ .

				-	$x$	+	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						-	$x$	-	$1$

Этап 5.9

Умножим новое частное на делитель.

				-	$x$	+	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						-	$x$	-	$1$
						-	$x$	+	$1$

Этап 5.10

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x + 1$ .

				-	$x$	+	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						-	$x$	-	$1$
						+	$x$	-	$1$

Этап 5.11

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				-	$x$	+	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						-	$x$	-	$1$
						+	$x$	-	$1$
								-	$2$

Этап 5.12

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- x + 1 - \frac{2}{- x + 1}$

Этап 5.13

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - x + 1$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - x + 1$

Этап 7