Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x + 72 y + 144 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $144$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x + 72 y = - 144$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $4 x^{2} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (4)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 12}{4}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 3}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$d = - 3$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{576}{16}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $576$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $36$ .

$e = 0 - 36$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$e = - 36$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x - 3)}^{2} - 36$ .

$4 {(x - 3)}^{2} - 36$

Этап 1.3

Подставим $4 {(x - 3)}^{2} - 36$ вместо $4 x^{2} - 24 x$ в уравнение $4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x + 72 y = - 144$ .

$4 {(x - 3)}^{2} - 36 + 9 y^{2} + 72 y = - 144$

Этап 1.4

Перенесем $- 36$ в правую часть уравнения, прибавив $36$ к обеим частям.

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 y^{2} + 72 y = - 144 + 36$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $9 y^{2} + 72 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = 72$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{72}{2 \cdot 9}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $72$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $72$ .

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 9}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 (9)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 9}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{36}{9}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $36$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $36$ .

$d = \frac{9 \cdot 4}{9}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 4}{9 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$d = 4$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{72^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $72$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 9}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{36}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $5184$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $144$ .

$e = 0 - 144$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $144$ из $0$ .

$e = - 144$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(y + 4)}^{2} - 144$ .

$9 {(y + 4)}^{2} - 144$

Этап 1.6

Подставим $9 {(y + 4)}^{2} - 144$ вместо $9 y^{2} + 72 y$ в уравнение $4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x + 72 y = - 144$ .

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} - 144 = - 144 + 36$

Этап 1.7

Перенесем $- 144$ в правую часть уравнения, прибавив $144$ к обеим частям.

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} = - 144 + 36 + 144$

Этап 1.8

Упростим $- 144 + 36 + 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 144$ и $36$ .

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} = - 108 + 144$

Этап 1.8.2

Добавим $- 108$ и $144$ .

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} = 36$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $36$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(x - 3)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y + 4)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{4} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 3$

$b = 2$

$k = - 4$

$h = 3$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(3, - 4)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

Этап 5.3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sqrt{9 - 4}$

Этап 5.3.4

Вычтем $4$ из $9$ .

$\sqrt{5}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(3 + 3, - 4)$

Этап 6.3

Упростим.

$(6, - 4)$

Этап 6.4

Вторую вершину эллипса можно найти путем вычитания $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(3 - (3), - 4)$

Этап 6.6

Упростим.

$(0, - 4)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(3 + \sqrt{5}, - 4)$

Этап 7.3

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(3 - (\sqrt{5}), - 4)$

Этап 7.5

Упростим.

$(3 - \sqrt{5}, - 4)$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(3 + \sqrt{5}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(3 - \sqrt{5}, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(3 + \sqrt{5}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(3 - \sqrt{5}, - 4)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}}{3}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 2^{2}}}{3}$

Этап 8.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 4}}{3}$

Этап 8.3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{9 - 4}}{3}$

Этап 8.3.4

Вычтем $4$ из $9$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(3, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(3 + \sqrt{5}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(3 - \sqrt{5}, - 4)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Этап 10