Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3^{x} + 2}{e^{2 x} + 1}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3^{x} + 2}{e^{2 x} + 1}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{3^{x} + 2}{e^{2 x} + 1}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3^{x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + 1}$

Этап 3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3^{x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + 1}$

Этап 3.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $3^{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + 1}$

Этап 3.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + 1}$

Этап 3.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

Этап 3.4

Поскольку показатель степени $2 x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{2 x}$ стремится к $0$ .

$\frac{0 + 2}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

Этап 3.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{0 + 2}{0 + 1}$

Этап 3.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{2}{0 + 1}$

Этап 3.5.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{2}{1}$

Этап 3.5.2.3

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 2$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 2$

Нет наклонных асимптот

Этап 7