Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x + 10)}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x + 10)}$ не определено.

$x = - 10$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разложим $x^{2} + 15 x + 54$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $54$ , а сумма — $15$ .

$6, 9$

Этап 5.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 x + 30}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x) + 30}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 x + 3 \cdot 10}$

Этап 5.1.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot 10$ .

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x + 10)}$

Этап 5.2

Развернем $(x + 6) (x + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x + 9) + 6 (x + 9)}{3 (x + 10)}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 9 + 6 (x + 9)}{3 (x + 10)}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 9 + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Этап 5.2.4

Изменим порядок $x$ и $9$ .

$\frac{x \cdot x + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Этап 5.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Этап 5.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Этап 5.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 1} + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Этап 5.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Этап 5.2.9

Умножим $6$ на $9$ .

$\frac{x^{2} + 9 x + 6 x + 54}{3 (x + 10)}$

Этап 5.2.10

Добавим $9 x$ и $6 x$ .

$\frac{x^{2} + 15 x + 54}{3 (x + 10)}$

Этап 5.3

Развернем $3 (x + 10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 15 x + 54}{3 x + 3 \cdot 10}$

Этап 5.3.2

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{x^{2} + 15 x + 54}{3 x + 30}$

Этап 5.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$30$

$x^{2}$

$15 x$

$54$

Этап 5.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$

Этап 5.6

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			+	$x^{2}$	+	$10 x$

Этап 5.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 10 x$ .

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$

Этап 5.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$

Этап 5.9

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$

Этап 5.10

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$

Этап 5.11

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$
					+	$5 x$	+	$50$

Этап 5.12

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x + 50$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$
					-	$5 x$	-	$50$

Этап 5.13

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$
					-	$5 x$	-	$50$
							+	$4$

Этап 5.14

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{x}{3} + \frac{5}{3} + \frac{4}{3 x + 30}$

Этап 5.15

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 10$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Этап 7