Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3 (2 x + 5) (2 x - 5)}{3 (2 x + 5)}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3 (2 x + 5) (2 x - 5)}{3 (2 x + 5)}$ не определено.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель $12 x^{2} - 75$ и $6 x + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2}) - 75}{6 x + 15}$

Этап 6.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 75$ .

$\frac{3 (4 x^{2}) + 3 (- 25)}{6 x + 15}$

Этап 6.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (4 x^{2}) + 3 (- 25)$ .

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{6 x + 15}$

Этап 6.1.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x) + 15}$

Этап 6.1.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x) + 3 (5)}$

Этап 6.1.1.4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x) + 3 (5)$ .

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x + 5)}$

Этап 6.1.1.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x + 5)}$

Этап 6.1.1.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x^{2} - 25}{2 x + 5}$

Этап 6.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - 25}{2 x + 5}$

Этап 6.1.2.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - 5^{2}}{2 x + 5}$

Этап 6.1.2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 5$ .

$\frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{2 x + 5}$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель $2 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{2 x + 5}$

Этап 6.1.3.2

Разделим $2 x - 5$ на $1$ .

$2 x - 5$

Этап 6.2

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 2 x - 5$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 2 x - 5$

Этап 8