Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$ не определено.

$x = - 1$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 x + 3}$

Этап 5.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{3 x + 3}$

Этап 5.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 x + 3}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x) + 3}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x) + 3 (1)}$

Этап 5.1.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (1)$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x + 1)}$

Этап 5.2

Развернем $x (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{3 (x + 1)}$

Этап 5.2.2

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Этап 5.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Этап 5.2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Этап 5.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 1} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Этап 5.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Этап 5.3

Развернем $3 (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

Этап 5.3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Этап 5.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Этап 5.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Этап 5.6

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 5.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + x$ .

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 5.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$

Этап 5.9

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$

Этап 5.10

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$

Этап 5.11

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Этап 5.12

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Этап 5.13

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$
							-	$1$

Этап 5.14

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{x}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 x + 3}$

Этап 5.15

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 1$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 7