Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 5 = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.3

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 2.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 5$

$x = 7$

$x = 2$

Этап 2.6

Объединим решения.

$x = - 5, 7, 2$

Этап 2.7

Найдем область определения $\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x - 7) (x - 2) = 0$

Этап 2.7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.7.2.2

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 2.7.2.2.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 2.7.2.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.7.2.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.7.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 7, 2$

Этап 2.7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Этап 2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 8) + 5}{((- 8) - 7) ((- 8) - 2)} \geq 0$

Этап 2.9.1.3

Левая часть $- 0.02$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.9.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 5}{((0) - 7) ((0) - 2)} \geq 0$

Этап 2.9.2.3

Левая часть $0.3\overline{571428}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.9.3

Проверим значение на интервале $2 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) + 5}{((4) - 7) ((4) - 2)} \geq 0$

Этап 2.9.3.3

Левая часть $- 1.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.9.4

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 2.9.4.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{(10) + 5}{((10) - 7) ((10) - 2)} \geq 0$

Этап 2.9.4.3

Левая часть $0.625$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 2$ Истина

$2 < x < 7$ Ложь

$x > 7$ Истина

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 2$ Истина

$2 < x < 7$ Ложь

$x > 7$ Истина

Этап 2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 \leq x < 2$ или $x > 7$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x - 7) (x - 2) = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4.2

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 4.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 7, 2$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 5, 2) \cup (7, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | - 5 \leq x < 2, x > 7}$

Этап 6