Основы мат. анализа Примеры

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 12}{2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 12 = - 60$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 4 (x) - 12}{2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.1.1.1.2

Запишем $- 4$ как $6$ плюс $- 10$

$\frac{5 x^{2} + (6 - 10) x - 12}{2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{2} + 6 x - 10 x - 12}{2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(5 x^{2} + 6 x) - 10 x - 12}{2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (5 x + 6) - 2 (5 x + 6)}{2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x + 6$ .

$\frac{(5 x + 6) (x - 2)}{2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{(5 x + 6) (x - 2)}{2 x (x^{2}) + 6 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем множитель $2 x$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{(5 x + 6) (x - 2)}{2 x (x^{2}) + 2 x (3 x) + 4 x}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x$ .

$\frac{(5 x + 6) (x - 2)}{2 x (x^{2}) + 2 x (3 x) + 2 x (2)}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (3 x)$ .

$\frac{(5 x + 6) (x - 2)}{2 x (x^{2} + 3 x) + 2 x (2)}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2} + 3 x) + 2 x (2)$ .

$\frac{(5 x + 6) (x - 2)}{2 x (x^{2} + 3 x + 2)}$

Этап 1.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разложим $x^{2} + 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 1.1.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(5 x + 6) (x - 2)}{2 x ((x + 1) (x + 2))}$

Этап 1.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{(5 x + 6) (x - 2)}{2 x (x + 1) (x + 2)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $2 x (x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{(5 x + 6) (x - 2) (2 x (x + 1) (x + 2))}{2 x (x + 1) (x + 2)} = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x + 6) (x - 2) (2 x (x + 1) (x + 2))}{2 x (x + 1) (x + 2)} = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.5.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(5 x + 6) (x - 2) ((x (x + 1)) (x + 2))}{(x (x + 1)) (x + 2)} = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x + 6) (x - 2) (x (x + 1) (x + 2))}{x (x + 1) (x + 2)} = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(5 x + 6) (x - 2) ((x + 1) (x + 2))}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x + 6) (x - 2) ((x + 1) (x + 2))}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(5 x + 6) (x - 2) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x + 6) (x - 2) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.5.4.2

Разделим $(5 x + 6) (x - 2)$ на $1$ .

$(5 x + 6) (x - 2) = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.6

Развернем $(5 x + 6) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x (x - 2) + 6 (x - 2) = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2 + 6 (x - 2) = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2 = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Перенесем $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2 = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.7.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2 = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.7.1.2

Умножим $- 2$ на $5$ .

$5 x^{2} - 10 x + 6 x + 6 \cdot - 2 = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.7.1.3

Умножим $6$ на $- 2$ .

$5 x^{2} - 10 x + 6 x - 12 = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.7.2

Добавим $- 10 x$ и $6 x$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} - 4 x - 12 = \frac{A (2 x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.1.2

Разделим $A ((2 (x + 1)) (x + 2))$ на $1$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = A ((2 (x + 1)) (x + 2)) + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A (x + 1) (x + 2) + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 4 x - 12 = (2 A x + 2 A \cdot 1) (x + 2) + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.4

Умножим $2$ на $1$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = (2 A x + 2 A) (x + 2) + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.5

Развернем $(2 A x + 2 A) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x (x + 2) + 2 A (x + 2) + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x \cdot x + 2 A x \cdot 2 + 2 A (x + 2) + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x \cdot x + 2 A x \cdot 2 + 2 A x + 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A (x \cdot x) + 2 A x \cdot 2 + 2 A x + 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 2 A x \cdot 2 + 2 A x + 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.6.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 4 A x + 2 A x + 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.6.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 4 A x + 2 A x + 4 A + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.6.2

Добавим $4 A x$ и $2 A x$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + \frac{(B) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.7.1

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + \frac{B (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.7.2

Разделим $(B) (2 x (x + 2))$ на $1$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + (B) (2 x (x + 2)) + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + 2 B x (x + 2) + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.9

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + 2 B x \cdot x + 2 B x \cdot 2 + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.10

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.10.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + 2 B (x \cdot x) + 2 B x \cdot 2 + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.10.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + 2 B x^{2} + 2 B x \cdot 2 + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.11

Умножим $2$ на $2$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + 2 B x^{2} + 4 B x + \frac{(C) (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.12

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.12.1

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + 2 B x^{2} + 4 B x + \frac{C (2 x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.8.12.2

Разделим $(C) (2 x (x + 1))$ на $1$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + 2 B x^{2} + 4 B x + (C) (2 x (x + 1))$

Этап 1.8.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + 2 B x^{2} + 4 B x + 2 C x (x + 1)$

Этап 1.8.14

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + 2 B x^{2} + 4 B x + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot 1$

Этап 1.8.15

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.15.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + 2 B x^{2} + 4 B x + 2 C (x \cdot x) + 2 C x \cdot 1$

Этап 1.8.15.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + 2 B x^{2} + 4 B x + 2 C x^{2} + 2 C x \cdot 1$

Этап 1.8.16

Умножим $2$ на $1$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 A x^{2} + 6 A x + 4 A + 2 B x^{2} + 4 B x + 2 C x^{2} + 2 C x$

Этап 1.9

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Перенесем $A$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 x^{2} A + 6 A x + 4 A + 2 B x^{2} + 4 B x + 2 C x^{2} + 2 C x$

Этап 1.9.2

Перенесем $A$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 x^{2} A + 6 x A + 4 A + 2 B x^{2} + 4 B x + 2 C x^{2} + 2 C x$

Этап 1.9.3

Перенесем $B$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 x^{2} A + 6 x A + 4 A + 2 x^{2} B + 4 B x + 2 C x^{2} + 2 C x$

Этап 1.9.4

Перенесем $B$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 x^{2} A + 6 x A + 4 A + 2 x^{2} B + 4 x B + 2 C x^{2} + 2 C x$

Этап 1.9.5

Перенесем $4 A$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 x^{2} A + 6 x A + 2 x^{2} B + 4 x B + 2 C x^{2} + 2 C x + 4 A$

Этап 1.9.6

Перенесем $4 x B$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 x^{2} A + 6 x A + 2 x^{2} B + 2 C x^{2} + 4 x B + 2 C x + 4 A$

Этап 1.9.7

Перенесем $6 x A$ .

$5 x^{2} - 4 x - 12 = 2 x^{2} A + 2 x^{2} B + 2 C x^{2} + 6 x A + 4 x B + 2 C x + 4 A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = 2 A + 2 B + 2 C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 12 = 4 A$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$5 = 2 A + 2 B + 2 C$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

$- 12 = 4 A$

$5 = 2 A + 2 B + 2 C$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

$- 12 = 4 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $- 12 = 4 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $4 A = - 12$ .

$4 A = - 12$

$5 = 2 A + 2 B + 2 C$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $4 A = - 12$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $4 A = - 12$ на $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{- 12}{4}$

$5 = 2 A + 2 B + 2 C$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 A}{4} = \frac{- 12}{4}$

$5 = 2 A + 2 B + 2 C$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 12}{4}$

$5 = 2 A + 2 B + 2 C$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

$A = \frac{- 12}{4}$

$5 = 2 A + 2 B + 2 C$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

$A = \frac{- 12}{4}$

$5 = 2 A + 2 B + 2 C$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $- 12$ на $4$ .

$A = - 3$

$5 = 2 A + 2 B + 2 C$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

$A = - 3$

$5 = 2 A + 2 B + 2 C$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

$A = - 3$

$5 = 2 A + 2 B + 2 C$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

$A = - 3$

$5 = 2 A + 2 B + 2 C$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $5 = 2 A + 2 B + 2 C$ на $- 3$ .

$5 = 2 (- 3) + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $- 4 = 6 A + 4 B + 2 C$ на $- 3$ .

$- 4 = 6 (- 3) + 4 B + 2 C$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $6$ на $- 3$ .

$- 4 = - 18 + 4 B + 2 C$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$- 4 = - 18 + 4 B + 2 C$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$- 4 = - 18 + 4 B + 2 C$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $- 4 = - 18 + 4 B + 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 18 + 4 B + 2 C = - 4$ .

$- 18 + 4 B + 2 C = - 4$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$4 B + 2 C = - 4 + 18$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $2 C$ из обеих частей уравнения.

$4 B = - 4 + 18 - 2 C$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.2.3

Добавим $- 4$ и $18$ .

$4 B = 14 - 2 C$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$4 B = 14 - 2 C$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $4 B = 14 - 2 C$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $4 B = 14 - 2 C$ на $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{14}{4} + \frac{- 2 C}{4}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 B}{4} = \frac{14}{4} + \frac{- 2 C}{4}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{14}{4} + \frac{- 2 C}{4}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$B = \frac{14}{4} + \frac{- 2 C}{4}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$B = \frac{14}{4} + \frac{- 2 C}{4}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $14$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$B = \frac{2 (7)}{4} + \frac{- 2 C}{4}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$B = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{- 2 C}{4}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$B = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{- 2 C}{4}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$B = \frac{7}{2} + \frac{- 2 C}{4}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$B = \frac{7}{2} + \frac{- 2 C}{4}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$B = \frac{7}{2} + \frac{- 2 C}{4}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 C$ .

$B = \frac{7}{2} + \frac{2 (- C)}{4}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$B = \frac{7}{2} + \frac{2 (- C)}{2 (2)}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.3.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$B = \frac{7}{2} + \frac{2 (- C)}{2 \cdot 2}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.3.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$B = \frac{7}{2} + \frac{- C}{2}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$B = \frac{7}{2} + \frac{- C}{2}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$B = \frac{7}{2} + \frac{- C}{2}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.3.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$5 = - 6 + 2 B + 2 C$

$A = - 3$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{7}{2} - \frac{C}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $5 = - 6 + 2 B + 2 C$ на $\frac{7}{2} - \frac{C}{2}$ .

$5 = - 6 + 2 (\frac{7}{2} - \frac{C}{2}) + 2 C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- 6 + 2 (\frac{7}{2} - \frac{C}{2}) + 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = - 6 + 2 (\frac{7}{2}) + 2 (- \frac{C}{2}) + 2 C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$5 = - 6 + 2 (\frac{7}{2}) + 2 (- \frac{C}{2}) + 2 C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$5 = - 6 + 7 + 2 (- \frac{C}{2}) + 2 C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

$5 = - 6 + 7 + 2 (- \frac{C}{2}) + 2 C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

Этап 3.4.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{C}{2}$ в числитель.

$5 = - 6 + 7 + 2 (\frac{- C}{2}) + 2 C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

Этап 3.4.2.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$5 = - 6 + 7 + 2 (\frac{- C}{2}) + 2 C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

Этап 3.4.2.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$5 = - 6 + 7 - C + 2 C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

$5 = - 6 + 7 - C + 2 C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

$5 = - 6 + 7 - C + 2 C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Добавим $- 6$ и $7$ .

$5 = 1 - C + 2 C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

Этап 3.4.2.1.2.2

Добавим $- C$ и $2 C$ .

$5 = 1 + C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

$5 = 1 + C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

$5 = 1 + C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

$5 = 1 + C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

$5 = 1 + C$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

Этап 3.5

Решим относительно $C$ в $5 = 1 + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $1 + C = 5$ .

$1 + C = 5$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$C = 5 - 1$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $1$ из $5$ .

$C = 4$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

$C = 4$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

$C = 4$

$B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$

$A = - 3$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $C$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $C$ в $B = \frac{7}{2} - \frac{C}{2}$ на $4$ .

$B = \frac{7}{2} - \frac{4}{2}$

$C = 4$

$A = - 3$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим $\frac{7}{2} - \frac{4}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$B = \frac{7 - 4}{2}$

$C = 4$

$A = - 3$

Этап 3.6.2.1.2

Вычтем $4$ из $7$ .

$B = \frac{3}{2}$

$C = 4$

$A = - 3$

$B = \frac{3}{2}$

$C = 4$

$A = - 3$

$B = \frac{3}{2}$

$C = 4$

$A = - 3$

$B = \frac{3}{2}$

$C = 4$

$A = - 3$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$B = \frac{3}{2}, C = 4, A = - 3$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$- \frac{3}{x} + \frac{\frac{3}{2}}{x + 1} + \frac{4}{x + 2}$