Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{x - \frac{4}{x}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - \frac{4}{x}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - \frac{4}{x} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1$

Этап 2.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 2.2

Каждый член в $x - \frac{4}{x} \geq 0$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим каждый член $x - \frac{4}{x} \geq 0$ на $x$ .

$x \cdot x - \frac{4}{x} x \geq 0 x$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - \frac{4}{x} x \geq 0 x$

Этап 2.2.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{x}$ в числитель.

$x^{2} + \frac{- 4}{x} x \geq 0 x$

Этап 2.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{- 4}{x} x \geq 0 x$

Этап 2.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 4 \geq 0 x$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $0$ на $x$ .

$x^{2} - 4 \geq 0$

Этап 2.3

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $4$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \geq 4$

Этап 2.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{4}$

Этап 2.3.3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{4}$

Этап 2.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Упростим $\sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.3.3.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq | 2 |$

Этап 2.3.3.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| x | \geq 2$

Этап 2.3.4

Запишем $| x | \geq 2$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.3.4.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq 2$

Этап 2.3.4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.3.4.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq 2$

Этап 2.3.4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq 2 & x \geq 0 \\ - x \geq 2 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.3.5

Найдем пересечение $x \geq 2$ и $x \geq 0$ .

$x \geq 2$

Этап 2.3.6

Разделим каждый член $- x \geq 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Разделим каждый член $- x \geq 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{2}{- 1}$

Этап 2.3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{2}{- 1}$

Этап 2.3.6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{2}{- 1}$

Этап 2.3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.3.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$x \leq - 2$

Этап 2.3.7

Найдем объединение решений.

$x \leq - 2$ или $x \geq 2$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{4}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Этап 5