Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$ не определено.

$x = 1$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Этап 5.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 5.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Этап 5.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2

Развернем ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{3}}{(x - 1) (x - 1)}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3}}{x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

Этап 5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.2.5

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3}}{x^{1 + 1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.2.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1 x - 1 x + 1}$

Этап 5.2.11

Вычтем $1 x$ из $- 1 x$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2} + x$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

Этап 5.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Этап 5.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Этап 5.10

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Этап 5.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} - 4 x + 2$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Этап 5.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$3 x$

$2$

Этап 5.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x + 2 + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 5.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x + 2$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x + 2$

Этап 7