Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 9 x + 18}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} + 9 x + 18}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} + 9 x + 18 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 9 x + 18 = 0$

Этап 2.2

Разложим $x^{2} + 9 x + 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $18$ , а сумма — $9$ .

$3, 6$

Этап 2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 3) (x + 6) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.5

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x + 6) = 0$ верно.

$x = - 3, - 6$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 3$

$x > - 3$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

${(- 8)}^{2} + 9 (- 8) + 18 \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $10$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{2} + 9 (- 4) + 18 \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} + 9 (0) + 18 \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $18$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < - 3$ Ложь

$x > - 3$ Истина

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < - 3$ Ложь

$x > - 3$ Истина

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 6$ или $x \geq - 3$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 9 x + 18}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x^{2} + 9 x + 18} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{2} + 9 x + 18}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 9 x + 18}$ в виде ${(x^{2} + 9 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 9 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({(x^{2} + 9 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 9 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 9 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} + 9 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} + 9 x + 18)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$x^{2} + 9 x + 18 = 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} + 9 x + 18 = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разложим $x^{2} + 9 x + 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

$3, 6$

Этап 4.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 3) (x + 6) = 0$

Этап 4.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 4.3.3

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.3.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.3.4

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 4.3.4.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 4.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x + 6) = 0$ верно.

$x = - 3, - 6$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 6) \cup (- 3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - 6, x > - 3}$

Этап 6