Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ в виде уравнения.

$y = \sqrt[4]{x} + 6$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[4]{y} + 6$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[4]{y} + 6 = x$ .

$\sqrt[4]{y} + 6 = x$

Этап 3.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt[4]{y} = x - 6$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${\sqrt[4]{y}}^{4} = {(x - 6)}^{4}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{4}}$ .

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(x - 6)}^{4}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x - 6)}^{4}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x - 6)}^{4}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(x - 6)}^{4}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(x - 6)}^{4}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - 6)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 6 + 6 x^{2} {(- 6)}^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Этап 3.4.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Умножим $- 6$ на $4$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 6 x^{2} {(- 6)}^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Этап 3.4.3.1.2.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 36 + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Этап 3.4.3.1.2.3

Умножим $36$ на $6$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Этап 3.4.3.1.2.4

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} + 4 x \cdot - 216 + {(- 6)}^{4}$

Этап 3.4.3.1.2.5

Умножим $- 216$ на $4$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + {(- 6)}^{4}$

Этап 3.4.3.1.2.6

Возведем $- 6$ в степень $4$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$ обратной к $f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {\sqrt[4]{x}}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Перепишем ${\sqrt[4]{x}}^{4}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x^{\frac{4}{4}} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.2.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.1.5

Упростим.

Этап 5.2.3.2.2

Перепишем ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 4 \sqrt[4]{x^{3}} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.3

Умножим $6$ на $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.4

Умножим $6$ на $6^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.4.1

Перенесем $6^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{2} \cdot (6 {\sqrt[4]{x}}^{2}) + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.4.2

Умножим $6^{2}$ на $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.4.2.1

Возведем $6$ в степень $1$ .

Этап 5.2.3.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{2 + 1} {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{3} {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.5

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2}{4}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2 (1)}{4}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.2.3.2.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{1}{2}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.6.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.7

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 216 + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.8

Умножим $216$ на $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.2.9

Возведем $6$ в степень $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 ({\sqrt[4]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Перепишем ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.4.2

Перепишем ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.4.2.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2}{4}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 (1)}{4}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.4.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.4.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.2.3.4.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.4.2.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 \sqrt{x} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.4.3

Умножим $6$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.4.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 36 + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.4.5

Умножим $36$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 108 \sqrt[4]{x} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.4.6

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 108 \sqrt[4]{x} + 216) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 24 (18 \sqrt{x}) - 24 (108 \sqrt[4]{x}) - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Умножим $18$ на $- 24$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 24 (108 \sqrt[4]{x}) - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.6.2

Умножим $108$ на $- 24$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.6.3

Умножим $- 24$ на $216$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.7

Перепишем ${(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2}$ в виде $(\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ((\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.8

Развернем $(\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt[4]{x} (\sqrt[4]{x} + 6) + 6 (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 5.2.3.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1.1

Умножим $\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1.1.1

Возведем $\sqrt[4]{x}$ в степень $1$ .

Этап 5.2.3.9.1.1.2

Возведем $\sqrt[4]{x}$ в степень $1$ .

Этап 5.2.3.9.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({\sqrt[4]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.9.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({\sqrt[4]{x}}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.9.1.2

Перепишем ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.9.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.9.1.2.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.9.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2 (1)}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.9.1.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.9.1.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.2.3.9.1.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.9.1.2.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.9.1.3

Перенесем $6$ влево от $\sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 6 \cdot \sqrt[4]{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.9.1.4

Умножим $6$ на $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 36) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.9.2

Добавим $6 \sqrt[4]{x}$ и $6 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 12 \sqrt[4]{x} + 36) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 216 (12 \sqrt[4]{x}) + 216 \cdot 36 - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.11.1

Умножим $12$ на $216$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 216 \cdot 36 - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Этап 5.2.3.11.2

Умножим $216$ на $36$ .

Этап 5.2.3.12

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 5.2.3.13

Умножим $- 864$ на $6$ .

Этап 5.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим противоположные члены в $x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Вычтем $24 \sqrt[4]{x^{3}}$ из $24 \sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 0 + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Этап 5.2.4.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Этап 5.2.4.1.3

Добавим $- 2592 \sqrt[4]{x}$ и $2592 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} + 0 - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Этап 5.2.4.1.4

Добавим $x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Этап 5.2.4.1.5

Вычтем $864 \sqrt[4]{x}$ из $864 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 0 + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

Этап 5.2.4.1.6

Добавим $x + 216 \sqrt{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

Этап 5.2.4.2

Вычтем $432 \sqrt{x}$ из $216 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 - 216 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

Этап 5.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x + 1296 - 216 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Добавим $- 216 \sqrt{x}$ и $216 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 + 0 - 5184 + 7776 - 5184 + 1296$

Этап 5.2.4.3.2

Добавим $x + 1296$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 - 5184 + 7776 - 5184 + 1296$

Этап 5.2.4.4

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Вычтем $5184$ из $1296$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x - 3888 + 7776 - 5184 + 1296$

Этап 5.2.4.4.2

Добавим $- 3888$ и $7776$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 3888 - 5184 + 1296$

Этап 5.2.4.4.3

Вычтем $5184$ из $3888$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x - 1296 + 1296$

Этап 5.2.4.5

Объединим противоположные члены в $x - 1296 + 1296$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.1

Добавим $- 1296$ и $1296$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 0$

Этап 5.2.4.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296} + 6$

Этап 5.3.3

Избавимся от скобок.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296} + 6$

Этап 5.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сопоставим все члены с членами бинома Ньютона.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 4 \cdot (6 x^{3}) + 6 \cdot (6^{2} x^{2}) - 4 \cdot (6^{3} x) + 6^{4}} + 6$

Этап 5.3.4.2

Разложим $x^{4} - 4 \cdot 6 x^{3} + 6 \cdot 6^{2} x^{2} - 4 \cdot 6^{3} x + 6^{4}$ на множители с помощью бинома Ньютона.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{{(6 - x)}^{4}} + 6$

Этап 5.3.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = 6 - x + 6$

Этап 5.3.5

Добавим $6$ и $6$ .

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = - x + 12$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$ — обратная к $f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$