Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{x}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x}$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

Этап 3.1.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{x + h}$ .

$\frac{1}{x + h}$

Этап 3.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

Этап 5.1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 5.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Умножим $\frac{1}{x + h}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 5.1.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.5

Перепишем $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.5.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.5.3

Вычтем $h$ из $0$ .

$\frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 5.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Этап 5.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{h}{x (x + h)}$ в числитель.

$\frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- h$ .

$\frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{x (x + h)}$

Этап 5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x (x + h)}$

Этап 6