Основы мат. анализа Примеры

$(3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$

Этап 1

Запишем $(3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$ в виде функции.

$f (x) = (3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = (3 - 2 (x + h) + 2 {(x + h)}^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 {(x + h)}^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Этап 3.1.2.1.2

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 ((x + h) (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Этап 3.1.2.1.3

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x (x + h) + h (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Этап 3.1.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Этап 3.1.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Этап 3.1.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Этап 3.1.2.1.4.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Этап 3.1.2.1.4.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Этап 3.1.2.1.4.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Этап 3.1.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Этап 3.1.2.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Этап 3.1.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Этап 3.1.2.1.7.2

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 ((x + h) (x + h)))$

Этап 3.1.2.1.7.3

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x (x + h) + h (x + h)))$

Этап 3.1.2.1.7.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)))$

Этап 3.1.2.1.7.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))$

Этап 3.1.2.1.7.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h))$

Этап 3.1.2.1.7.4.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}))$

Этап 3.1.2.1.7.4.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.4.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}))$

Этап 3.1.2.1.7.4.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}))$

Этап 3.1.2.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2})$

Этап 3.1.2.1.7.6

Умножим $2$ на $3$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2})$

Этап 3.1.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x) - (4 h) + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

Этап 3.1.2.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.9.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - (4 h) + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

Этап 3.1.2.1.9.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

Этап 3.1.2.1.9.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

Этап 3.1.2.1.9.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - (6 h x) - (3 h^{2})$

Этап 3.1.2.1.9.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 (h x) - (3 h^{2})$

Этап 3.1.2.1.9.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 (h x) - 3 h^{2}$

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Этап 3.1.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Добавим $3$ и $5$ .

$f (x + h) = - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Этап 3.1.2.2.2

Вычтем $4 x$ из $- 2 x$ .

$f (x + h) = - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 4 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Этап 3.1.2.2.3

Вычтем $4 h$ из $- 2 h$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Этап 3.1.2.2.4

Вычтем $3 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f (x + h) = - x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 6 h x - 3 h^{2}$

Этап 3.1.2.2.5

Вычтем $6 h x$ из $4 h x$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 3 h^{2}$

Этап 3.1.2.2.6

Вычтем $3 h^{2}$ из $2 h^{2}$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $- 6 x$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 h - 6 x + 8$

Этап 3.2.2

Перенесем $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

Этап 3.2.3

Изменим порядок $- 2 h x$ и $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

$f (x) = - x^{2} - 6 x + 8$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

$f (x) = - x^{2} - 6 x + 8$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 - (- x^{2} - 6 x + 8)}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 - - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

Этап 5.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + 1 x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

Этап 5.1.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} + 6 x - 1 \cdot 8}{h}$

Этап 5.1.2.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} + 6 x - 8}{h}$

Этап 5.1.3

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h - 6 x + 8 + 0 + 6 x - 8}{h}$

Этап 5.1.4

Добавим $- h^{2}$ и $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h - 6 x + 8 + 6 x - 8}{h}$

Этап 5.1.5

Добавим $- 6 x$ и $6 x$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 0 + 8 - 8}{h}$

Этап 5.1.6

Добавим $- h^{2}$ и $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 8 - 8}{h}$

Этап 5.1.7

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 0}{h}$

Этап 5.1.8

Добавим $- h^{2} - 2 h x - 6 h$ и $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h}{h}$

Этап 5.1.9

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2} - 2 h x - 6 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2}$ .

$\frac{h (- h) - 2 h x - 6 h}{h}$

Этап 5.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h x$ .

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) - 6 h}{h}$

Этап 5.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $- 6 h$ .

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot - 6}{h}$

Этап 5.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$\frac{h (- h - 2 x) + h \cdot - 6}{h}$

Этап 5.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (- h - 2 x) + h \cdot - 6$ .

$\frac{h (- h - 2 x - 6)}{h}$

Этап 5.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- h - 2 x - 6)}{h}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $- h - 2 x - 6$ на $1$ .

$- h - 2 x - 6$

Этап 5.2.2

Изменим порядок $- h$ и $- 2 x$ .

$- 2 x - h - 6$

Этап 6