Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 1$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(1, 1)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{4 \cdot 3 - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\sqrt{12 - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{12 - 1 \cdot 4}$

Этап 5.3.3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sqrt{12 - 4}$

Этап 5.3.3.4

Вычтем $4$ из $12$ .

$\sqrt{8}$

Этап 5.3.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

Этап 6.3

Вторую вершину эллипса можно найти путем вычитания $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(1, 1 - (2 \sqrt{3}))$

Этап 6.5

Упростим.

$(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

Этап 6.6

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

Этап 7.3

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(1, 1 - (2 \sqrt{2}))$

Этап 7.5

Упростим.

$(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2)}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 4}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{12 - 4}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.7

Вычтем $4$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.8

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.3

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 8.3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.3.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 8.3.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Этап 8.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Этап 8.3.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(1, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 10