Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 6}{- 4 x - 8}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{2} + x - 6}{- 4 x - 8}$ не определено.

$x = - 2$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разложим $x^{2} + x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 5.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{- 4 x - 8}$

Этап 5.1.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x) - 8}$

Этап 5.1.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x) + 4 (- 2)}$

Этап 5.1.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x - 2)}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x) - 2)}$

Этап 5.1.2.3

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x) - 1 (2))}$

Этап 5.1.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x + 2))}$

Этап 5.1.2.5

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.5.1

Перепишем $- (x + 2)$ в виде $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- 1 (x + 2))}$

Этап 5.1.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2

Развернем $- (x - 2) (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим знак $x - 2$ на противоположный.

$\frac{- (x - 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- x + 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x (x + 3) + 2 (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 3 + 2 (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.6

Перенесем $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.7

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.11

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.12

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.13

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.14

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.15

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 6}{4 (x + 2)}$

Этап 5.2.16

Добавим $- 3 x$ и $2 x$ .

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 (x + 2)}$

Этап 5.3

Развернем $4 (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 x + 4 \cdot 2}$

Этап 5.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 x + 8}$

Этап 5.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$4 x$

$8$

$x^{2}$

$x$

$6$

Этап 5.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

				-	$\frac{x}{4}$
	$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$

Этап 5.6

Умножим новое частное на делитель.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 5.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - 2 x$ .

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 5.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$

Этап 5.9

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$

Этап 5.10

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$

Этап 5.11

Умножим новое частное на делитель.

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					+	$x$	+	$2$

Этап 5.12

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 2$ .

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					-	$x$	-	$2$

Этап 5.13

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					-	$x$	-	$2$
							+	$4$

Этап 5.14

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4 x + 8}$

Этап 5.15

Разобьем решение на многочлен и остаток.

$- \frac{x}{4} + \frac{1}{4} - \frac{4}{- 4 x - 8}$

Этап 5.16

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 2$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 7