Основы мат. анализа Примеры

$g (t) = - {(t - 1)}^{2} + 5$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = t + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $t + h$ .

$g (t + h) = - {((t + h) - 1)}^{2} + 5$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(t + h - 1)}^{2}$ в виде $(t + h - 1) (t + h - 1)$ .

$g (t + h) = - ((t + h - 1) (t + h - 1)) + 5$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(t + h - 1) (t + h - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$g (t + h) = - (t \cdot t + t h + t \cdot - 1 + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Умножим $t$ на $t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h + t \cdot - 1 + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Этап 2.1.2.1.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - 1 \cdot t + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Этап 2.1.2.1.3.3

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Этап 2.1.2.1.3.4

Умножим $h$ на $h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Этап 2.1.2.1.3.5

Перенесем $- 1$ влево от $h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - 1 \cdot h - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Этап 2.1.2.1.3.6

Перепишем $- 1 h$ в виде $- h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Этап 2.1.2.1.3.7

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Этап 2.1.2.1.3.8

Перепишем $- 1 h$ в виде $- h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - h - 1 \cdot - 1) + 5$

Этап 2.1.2.1.3.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

Этап 2.1.2.1.4

Добавим $t h$ и $h t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1

Изменим порядок $t$ и $h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + h t + h t - t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

Этап 2.1.2.1.4.2

Добавим $h t$ и $h t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + 2 h t - t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

Этап 2.1.2.1.5

Вычтем $t$ из $- t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + 2 h t + h^{2} - h - 2 t - h + 1) + 5$

Этап 2.1.2.1.6

Вычтем $h$ из $- h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + 2 h t + h^{2} - 2 h - 2 t + 1) + 5$

Этап 2.1.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$g (t + h) = - t^{2} - (2 h t) - h^{2} - (- 2 h) - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

Этап 2.1.2.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.8.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} - (- 2 h) - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

Этап 2.1.2.1.8.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

Этап 2.1.2.1.8.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 \cdot 1 + 5$

Этап 2.1.2.1.8.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 + 5$

$g (t + h) = - t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 + 5$

Этап 2.1.2.2

Добавим $- 1$ и $5$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $- t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$ .

$- t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $- t^{2}$ .

$- 2 h t - h^{2} - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $- 2 h t$ и $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$g (t + h) = - h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

$g (t) = - t^{2} + 2 t + 4$

$g (t + h) = - h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

$g (t) = - t^{2} + 2 t + 4$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{g (t + h) - g t}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 - (- t^{2} + 2 t + 4)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 - - t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- - t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + 1 t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - 2 t - 1 \cdot 4}{h}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - 2 t - 4}{h}$

Этап 4.1.3

Добавим $- t^{2}$ и $t^{2}$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 2 t + 4 + 0 - 2 t - 4}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $- h^{2}$ и $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 2 t + 4 - 2 t - 4}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $2 t$ из $2 t$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 0 + 4 - 4}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $- h^{2}$ и $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 4 - 4}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $- h^{2} - 2 h t + 2 h$ и $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2} - 2 h t + 2 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2}$ .

$\frac{h (- h) - 2 h t + 2 h}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h t$ .

$\frac{h (- h) + h (- 2 t) + 2 h}{h}$

Этап 4.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $2 h$ .

$\frac{h (- h) + h (- 2 t) + h \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $h (- h) + h (- 2 t)$ .

$\frac{h (- h - 2 t) + h \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (- h - 2 t) + h \cdot 2$ .

$\frac{h (- h - 2 t + 2)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- h - 2 t + 2)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $- h - 2 t + 2$ на $1$ .

$- h - 2 t + 2$

Этап 4.2.2

Изменим порядок $- h$ и $- 2 t$ .

$- 2 t - h + 2$

Этап 5