Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{- x^{2}}{x^{4} - 25}$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{- x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 25}$

Этап 1.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (x) = \frac{- x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 5^{2}}$

Этап 1.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 5$ .

$f (x) = \frac{- x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)}$

Этап 1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)}$

Этап 2

Найдем $f (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем $f (- x)$ , подставив $- x$ для всех вхождений $x$ в $f (x)$ .

$f (- x) = - \frac{{(- x)}^{2}}{({(- x)}^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = - \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{({(- x)}^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

Этап 2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- x) = - \frac{1 x^{2}}{({(- x)}^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

Этап 2.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{({(- x)}^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{({(- 1)}^{2} x^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

Этап 2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(1 x^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

Этап 2.3.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

Этап 2.3.4

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) ({(- 1)}^{2} x^{2} - 5)}$

Этап 2.3.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (1 x^{2} - 5)}$

Этап 2.3.6

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)}$

Этап 3

Функция является четной, если $f (- x) = f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Проверим, верно ли $f (- x) = f (x)$ .

Этап 3.2

Так как $- \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)} = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)}$ , эта функция является четной.

Функция является четной.

Этап 4