Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ не определено.

$x = - \frac{4}{3}, x = \frac{1}{2}$

Этап 2

Поскольку $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{4}{3}$ слева, а $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{4}{3}$ справа, то $x = - \frac{4}{3}$ — вертикальная асимптота.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 3

Поскольку $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ слева, а $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ справа, то $x = \frac{1}{2}$ — вертикальная асимптота.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - \frac{4}{3}, \frac{1}{2}$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 5$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 (x) - 4}$

Этап 8.1.1.2

Запишем $5$ как $- 3$ плюс $8$

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + (- 3 + 8) x - 4}$

Этап 8.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} - 3 x + 8 x - 4}$

Этап 8.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{(6 x^{2} - 3 x) + 8 x - 4}$

Этап 8.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{3 x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}$

Этап 8.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{(2 x - 1) (3 x + 4)}$

Этап 8.2

Развернем $(2 x - 1) (3 x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x + 4) - 1 (3 x + 4)}$

Этап 8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x + 4)}$

Этап 8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2.4

Избавимся от скобок.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x \cdot (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2.5

Перенесем $x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2.6

Перенесем $x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2.7

Избавимся от скобок.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2.8

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x \cdot x + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{1 + 1} + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2.13

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2.14

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 3 x - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2.15

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 3 x - 4}$

Этап 8.2.16

Вычтем $3 x$ из $8 x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

Этап 8.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

Этап 8.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

Этап 8.5

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

Этап 8.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{5} + 5 x^{4} - 4 x^{3}$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

Этап 8.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

Этап 8.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 8.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 8.10

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

Этап 8.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 x^{4} - \frac{25 x^{3}}{6} + \frac{10 x^{2}}{3}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

Этап 8.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

Этап 8.13

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

Этап 8.14

Разделим член с максимальной степенью в делимом $\frac{49 x^{3}}{6}$ на член с максимальной степенью в делителе $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

Этап 8.15

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

Этап 8.16

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $\frac{49 x^{3}}{6} + \frac{245 x^{2}}{36} - \frac{49 x}{9}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

Этап 8.17

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

Этап 8.18

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

Этап 8.19

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- \frac{509 x^{2}}{36}$ на член с максимальной степенью в делителе $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

Этап 8.20

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

Этап 8.21

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- \frac{509 x^{2}}{36} - \frac{2545 x}{216} + \frac{509}{54}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

Этап 8.22

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

$\frac{3721 x}{216}$

$\frac{239}{54}$

Этап 8.23

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216} + \frac{\frac{3721 x}{216} - \frac{239}{54}}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

Этап 8.24

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216}$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{4}{3}, \frac{1}{2}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216}$

Этап 10