Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{- x^{2} - 5 x - 4}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- x^{2} - 5 x - 4}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- x^{2} - 5 x - 4 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- x^{2} - 5 x - 4 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} - 5 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 5 x - 4 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x$ .

$- (x^{2}) - (5 x) - 4 = 0$

Этап 2.2.1.3

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$- (x^{2}) - (5 x) - 1 \cdot 4 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (5 x)$ .

$- (x^{2} + 5 x) - 1 \cdot 4 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 5 x) - 1 (4)$ .

$- (x^{2} + 5 x + 4) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} + 5 x + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $5$ .

$1, 4$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x + 1) (x + 4)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x + 1) (x + 4) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x + 1) (x + 4) = 0$ верно.

$x = - 1, - 4$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$x > - 1$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$- {(- 6)}^{2} - 5 \cdot - 6 - 4 \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $- 10$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$- {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 4 \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 - 4 \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $- 4$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 1$ Истина

$x > - 1$ Ложь

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 1$ Истина

$x > - 1$ Ложь

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 \leq x \leq - 1$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 4, - 1]$

Обозначение построения множества:

${x | - 4 \leq x \leq - 1}$

Этап 4