Основы мат. анализа Примеры

$3 x + 3 y + 3 z = 6$ , $x - y = - 3$ , $- 4 x + y - z = - 1$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 3 & 3 & 3 & 6 \\ 1 & - 1 & 0 & - 3 \\ - 4 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{3}{3} & \frac{3}{3} & \frac{6}{3} \\ 1 & - 1 & 0 & - 3 \\ - 4 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & - 1 & 0 & - 3 \\ - 4 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 - 1 & - 1 - 1 & 0 - 1 & - 3 - 2 \\ - 4 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 2 & - 1 & - 5 \\ - 4 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 2 & - 1 & - 5 \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 2 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 2 & - 1 & - 5 \\ 0 & 5 & 3 & 7 \end{array}]$

Этап 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{2} \cdot - 5 \\ 0 & 5 & 3 & 7 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 5 & 3 & 7 \end{array}]$

Этап 2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 3 - 5 (\frac{1}{2}) & 7 - 5 (\frac{5}{2}) \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{11}{2} \end{array}]$

Этап 2.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $2$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $2$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (- \frac{11}{2}) \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Этап 2.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 11 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Этап 2.7.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Этап 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 2 + 11 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Этап 2.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 13 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Этап 2.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 13 - 8 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Этап 2.9.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = 5$

$y = 8$

$z = - 11$

Этап 4

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(5, 8, - 11)$

Этап 5

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 8 \\ - 11 \end{array}]$