Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{x^{3} + 8} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x^{3} + 8}}^{3} = 0^{3}$

Этап 2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{3} + 8}$ в виде ${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим ${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{3} + 8)}^{1} = 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.2

Упростим.

$x^{3} + 8 = 0^{3}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{3} + 8 = 0$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} = - 8$

Этап 2.3.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} + 8 = 0$

Этап 2.3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x^{3} + 2^{3} = 0$

Этап 2.3.3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 2.3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) = 0$

Этап 2.3.3.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Этап 2.3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Этап 2.3.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.3.6

Приравняем $x^{2} - 2 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Приравняем $x^{2} - 2 x + 4$ к $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Этап 2.3.6.2

Решим $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.3.6.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 2.3.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.4.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.4.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.4.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.3.6.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 2.3.6.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Этап 2.3.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.5.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.5.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.3.6.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 2.3.6.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Этап 2.3.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Этап 2.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ верно.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 2}$

Этап 4