Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x - 5}{4 x + 4}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{2} - 4 x - 5}{4 x + 4}$ не определено.

$x = - 1$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разложим $x^{2} - 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 6.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 x + 4}$

Этап 6.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x) + 4}$

Этап 6.1.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x) + 4 (1)}$

Этап 6.1.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x) + 4 (1)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x + 1)}$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x + 1)}$

Этап 6.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 5}{4}$

Этап 6.2

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$4$

$x$

$5$

Этап 6.3

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $4$ .

			$\frac{x}{4}$
	$4$		$x$	-	$5$

Этап 6.4

Умножим новое частное на делитель.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	+	$x$

Этап 6.5

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x$ .

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	-	$x$

Этап 6.6

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	-	$x$
		$0$

Этап 6.7

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	-	$x$
		$0$	-	$5$

Этап 6.8

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{x}{4} - \frac{5}{4}$

Этап 6.9

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = \frac{x}{4}$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = \frac{x}{4}$

Этап 8