Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt[5]{x} - 6$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt[5]{x} - 6$ в виде уравнения.

$y = \sqrt[5]{x} - 6$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[5]{y} - 6$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[5]{y} - 6 = x$ .

$\sqrt[5]{y} - 6 = x$

Этап 3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt[5]{y} = x + 6$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${\sqrt[5]{y}}^{5} = {(x + 6)}^{5}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{5}}$ .

${(y^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(x + 6)}^{5}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(x + 6)}^{5}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(x + 6)}^{5}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(x + 6)}^{5}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(x + 6)}^{5}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x + 6)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = x^{5} + 5 x^{4} \cdot 6 + 10 x^{3} \cdot 6^{2} + 10 x^{2} \cdot 6^{3} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

Этап 3.4.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Умножим $6$ на $5$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 6^{2} + 10 x^{2} \cdot 6^{3} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

Этап 3.4.3.1.2.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 36 + 10 x^{2} \cdot 6^{3} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

Этап 3.4.3.1.2.3

Умножим $36$ на $10$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 6^{3} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

Этап 3.4.3.1.2.4

Возведем $6$ в степень $3$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 216 + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

Этап 3.4.3.1.2.5

Умножим $216$ на $10$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

Этап 3.4.3.1.2.6

Возведем $6$ в степень $4$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 5 x \cdot 1296 + 6^{5}$

Этап 3.4.3.1.2.7

Умножим $1296$ на $5$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 6^{5}$

Этап 3.4.3.1.2.8

Возведем $6$ в степень $5$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$ обратной к $f (x) = \sqrt[5]{x} - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = {\sqrt[5]{x}}^{5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x^{\frac{5}{5}} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.2.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2.1.5

Упростим.

Этап 5.2.3.2.2

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ в виде $\sqrt[5]{x^{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 5 \sqrt[5]{x^{4}} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2.3

Умножим $- 6$ на $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2.4

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ в виде $\sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 \sqrt[5]{x^{3}} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2.5

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 \sqrt[5]{x^{3}} \cdot 36 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2.6

Умножим $36$ на $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2.7

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 \sqrt[5]{x^{2}} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2.8

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot - 216 + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2.9

Умножим $- 216$ на $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2.10

Возведем $- 6$ в степень $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 1296 + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2.11

Умножим $1296$ на $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.2.12

Возведем $- 6$ в степень $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 ({\sqrt[5]{x}}^{4} + 4 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot - 6 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ в виде $\sqrt[5]{x^{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} + 4 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot - 6 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.4.2

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ в виде $\sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} + 4 \sqrt[5]{x^{3}} \cdot - 6 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.4.3

Умножим $- 6$ на $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.4.4

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 \sqrt[5]{x^{2}} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.4.5

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot 36 + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.4.6

Умножим $36$ на $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 216 \sqrt[5]{x^{2}} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.4.7

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 216 \sqrt[5]{x^{2}} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot - 216 + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.4.8

Умножим $- 216$ на $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 216 \sqrt[5]{x^{2}} - 864 \sqrt[5]{x} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.4.9

Возведем $- 6$ в степень $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 216 \sqrt[5]{x^{2}} - 864 \sqrt[5]{x} + 1296) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 30 (- 24 \sqrt[5]{x^{3}}) + 30 (216 \sqrt[5]{x^{2}}) + 30 (- 864 \sqrt[5]{x}) + 30 \cdot 1296 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Умножим $- 24$ на $30$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 30 (216 \sqrt[5]{x^{2}}) + 30 (- 864 \sqrt[5]{x}) + 30 \cdot 1296 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.6.2

Умножим $216$ на $30$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 30 (- 864 \sqrt[5]{x}) + 30 \cdot 1296 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.6.3

Умножим $- 864$ на $30$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 30 \cdot 1296 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.6.4

Умножим $30$ на $1296$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.7

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 ({\sqrt[5]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.8.1

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ в виде $\sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} + 3 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.8.2

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} + 3 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot - 6 + 3 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.8.3

Умножим $- 6$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} - 18 \sqrt[5]{x^{2}} + 3 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.8.4

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} - 18 \sqrt[5]{x^{2}} + 3 \sqrt[5]{x} \cdot 36 + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.8.5

Умножим $36$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} - 18 \sqrt[5]{x^{2}} + 108 \sqrt[5]{x} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.8.6

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} - 18 \sqrt[5]{x^{2}} + 108 \sqrt[5]{x} - 216) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 360 (- 18 \sqrt[5]{x^{2}}) + 360 (108 \sqrt[5]{x}) + 360 \cdot - 216 + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.10.1

Умножим $- 18$ на $360$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 360 (108 \sqrt[5]{x}) + 360 \cdot - 216 + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.10.2

Умножим $108$ на $360$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} + 360 \cdot - 216 + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.10.3

Умножим $360$ на $- 216$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.11

Перепишем ${(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2}$ в виде $(\sqrt[5]{x} - 6) (\sqrt[5]{x} - 6)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 ((\sqrt[5]{x} - 6) (\sqrt[5]{x} - 6)) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.12

Развернем $(\sqrt[5]{x} - 6) (\sqrt[5]{x} - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} (\sqrt[5]{x} - 6) - 6 (\sqrt[5]{x} - 6)) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 (\sqrt[5]{x} - 6)) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.13.1.1

Умножим $\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.13.1.1.1

Возведем $\sqrt[5]{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.13.1.1.2

Возведем $\sqrt[5]{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.13.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 ({\sqrt[5]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.13.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 ({\sqrt[5]{x}}^{2} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.13.1.2

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x^{2}} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.13.1.3

Перенесем $- 6$ влево от $\sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x^{2}} - 6 \cdot \sqrt[5]{x} - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.13.1.4

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x^{2}} - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \sqrt[5]{x} + 36) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.13.2

Вычтем $6 \sqrt[5]{x}$ из $- 6 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x^{2}} - 12 \sqrt[5]{x} + 36) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.14

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 2160 (- 12 \sqrt[5]{x}) + 2160 \cdot 36 + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.15.1

Умножим $- 12$ на $2160$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 2160 \cdot 36 + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.15.2

Умножим $2160$ на $36$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Этап 5.2.3.16

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} + 6480 \cdot - 6 + 7776$

Этап 5.2.3.17

Умножим $6480$ на $- 6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Этап 5.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим противоположные члены в $x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Добавим $- 30 \sqrt[5]{x^{4}}$ и $30 \sqrt[5]{x^{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 0 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Этап 5.2.4.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Этап 5.2.4.1.3

Вычтем $6480 \sqrt[5]{x^{2}}$ из $6480 \sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 0 - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Этап 5.2.4.1.4

Добавим $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Этап 5.2.4.1.5

Добавим $- 2160 \sqrt[5]{x^{2}}$ и $2160 \sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 0 + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Этап 5.2.4.1.6

Добавим $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Этап 5.2.4.1.7

Добавим $- 77760$ и $77760$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} + 0 - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Этап 5.2.4.1.8

Добавим $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Этап 5.2.4.1.9

Вычтем $38880$ из $38880$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 0 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x} + 7776$

Этап 5.2.4.1.10

Добавим $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x} + 7776$

Этап 5.2.4.1.11

Добавим $- 7776$ и $7776$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} + 0 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.1.12

Добавим $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.2

Вычтем $720 \sqrt[5]{x^{3}}$ из $360 \sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Добавим $- 360 \sqrt[5]{x^{3}}$ и $360 \sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 0 + 6480 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 6480 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.4

Вычтем $25920 \sqrt[5]{x}$ из $6480 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 19440 \sqrt[5]{x} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.5

Добавим $- 19440 \sqrt[5]{x}$ и $38880 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 19440 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.6

Вычтем $25920 \sqrt[5]{x}$ из $19440 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 6480 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.7

Объединим противоположные члены в $x - 6480 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.7.1

Добавим $- 6480 \sqrt[5]{x}$ и $6480 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 0$

Этап 5.2.4.7.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = \sqrt[5]{x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776} - 6$

Этап 5.3.3

Избавимся от скобок.

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = \sqrt[5]{x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776} - 6$

Этап 5.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сопоставим все члены с членами бинома Ньютона.

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = \sqrt[5]{x^{5} + 5 \cdot (6 x^{4}) + 10 \cdot (6^{2} x^{3}) + 10 \cdot (6^{3} x^{2}) + 5 \cdot (6^{4} x) + 6^{5}} - 6$

Этап 5.3.4.2

Разложим $x^{5} + 5 \cdot 6 x^{4} + 10 \cdot 6^{2} x^{3} + 10 \cdot 6^{3} x^{2} + 5 \cdot 6^{4} x + 6^{5}$ на множители с помощью бинома Ньютона.

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = \sqrt[5]{{(x + 6)}^{5}} - 6$

Этап 5.3.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = x + 6 - 6$

Этап 5.3.5

Объединим противоположные члены в $x + 6 - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вычтем $6$ из $6$ .

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = x + 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$ — обратная к $f (x) = \sqrt[5]{x} - 6$ .

$f^{- 1} (x) = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$