Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = \frac{8 x}{\sqrt{2 x + 6}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 x + 6}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x + 6 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $6$ из обеих частей неравенства.

$2 x \geq - 6$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 x \geq - 6$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 x \geq - 6$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 6}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 6}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 6}{2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 6$ на $2$ .

$x \geq - 3$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{8 x}{\sqrt{2 x + 6}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{2 x + 6} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x + 6}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 6}$ в виде ${(2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({(2 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x + 6)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$2 x + 6 = 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 x + 6 = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 6$

Этап 4.3.2

Разделим каждый член $2 x = - 6$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 6$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 6}{2}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 6}{2}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 6}{2}$

Этап 4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Разделим $- 6$ на $2$ .

$x = - 3$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 3}$

Этап 6