Основы алгебры Примеры

$\frac{64 x^{3} - 1}{2 x^{2} - 6 x + 18} \div \frac{48 x^{2} + 12 x + 3}{6 x^{3} + 162}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{64 x^{3} - 1}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $64 x^{3}$ в виде ${(4 x)}^{3}$ .

$\frac{{(4 x)}^{3} - 1}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{{(4 x)}^{3} - 1^{3}}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 4 x$ и $b = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2})}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило умножения к $4 x$ .

$\frac{(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2})}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 2.4.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2})}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 2.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2})}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 2.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 6 x + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2}) - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2}) + 2 (- 3 x) + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 \cdot 9} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 (- 3 x)$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x) + 2 \cdot 9} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - 3 x) + 2 \cdot 9$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 4

Сократим общий множитель $6 x^{3} + 162$ и $48 x^{2} + 12 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{3}$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3}) + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $3$ из $162$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3}) + 3 \cdot 54}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x^{3}) + 3 (54)$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Этап 4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $3$ из $48 x^{2}$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2}) + 12 x + 3}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $3$ из $12 x$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2}) + 3 (4 x) + 3}$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (16 x^{2}) + 3 (4 x)$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2} + 4 x) + 3}$

Этап 4.4.4

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2} + 4 x) + 3 (1)}$

Этап 4.4.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (16 x^{2} + 4 x) + 3 (1)$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2} + 4 x + 1)}$

Этап 4.4.6

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2} + 4 x + 1)}$

Этап 4.4.7

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x^{3} + 54}{16 x^{2} + 4 x + 1}$

Этап 5

Сократим общий множитель $16 x^{2} + 4 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $16 x^{2} + 4 x + 1$ из $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)$ .

$\frac{(16 x^{2} + 4 x + 1) (4 x - 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x^{3} + 54}{16 x^{2} + 4 x + 1}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(16 x^{2} + 4 x + 1) (4 x - 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x^{3} + 54}{16 x^{2} + 4 x + 1}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x - 1}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} (2 x^{3} + 54)$

Этап 6

Умножим $\frac{4 x - 1}{2 (x^{2} - 3 x + 9)}$ на $2 x^{3} + 54$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x^{3} + 54)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $2 x^{3} + 54$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $(4 x - 1) (2 x^{3} + 54)$ .

$\frac{2 ((4 x - 1) (x^{3} + 27))}{2 (x^{2} - 3 x + 9)}$

Этап 7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((4 x - 1) (x^{3} + 27))}{2 (x^{2} - 3 x + 9)}$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 x - 1) (x^{3} + 27)}{x^{2} - 3 x + 9}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{(4 x - 1) (x^{3} + 3^{3})}{x^{2} - 3 x + 9}$

Этап 8.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}))}{x^{2} - 3 x + 9}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}))}{x^{2} - 3 x + 9}$

Этап 8.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 9))}{x^{2} - 3 x + 9}$

$\frac{(4 x - 1) (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x^{2} - 3 x + 9}$

Этап 9

Сократим общий множитель $x^{2} - 3 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x - 1) (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x^{2} - 3 x + 9}$

Этап 9.2

Разделим $(4 x - 1) (x + 3)$ на $1$ .

$(4 x - 1) (x + 3)$

Этап 10

Развернем $(4 x - 1) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x (x + 3) - 1 (x + 3)$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 3 - 1 (x + 3)$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3$

Этап 11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Перенесем $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$4 x^{2} + 12 x - 1 x - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$4 x^{2} + 12 x - x - 1 \cdot 3$

Этап 11.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$4 x^{2} + 12 x - x - 3$

Этап 11.2

Вычтем $x$ из $12 x$ .

$4 x^{2} + 11 x - 3$