Основы алгебры Примеры

$\frac{3 t - 22 t + 7}{3 t^{2} + 8 t - 3} \div \frac{2 t^{2} - 10 t + 1}{7 t^{2} + 20 t - 3}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{3 t - 22 t + 7}{3 t^{2} + 8 t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 2

Вычтем $22 t$ из $3 t$ .

$\frac{- 19 t + 7}{3 t^{2} + 8 t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 t$ .

$\frac{- 19 t + 7}{3 t^{2} + 8 (t) - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 3.1.2

Запишем $8$ как $- 1$ плюс $9$

$\frac{- 19 t + 7}{3 t^{2} + (- 1 + 9) t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 19 t + 7}{3 t^{2} - 1 t + 9 t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t^{2} - 1 t) + 9 t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{- 19 t + 7}{t (3 t - 1) + 3 (3 t - 1)} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 t - 1$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 7 \cdot - 3 = - 21$ , а сумма — $b = 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $20$ из $20 t$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 (t) - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 4.1.2

Запишем $20$ как $- 1$ плюс $21$

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{7 t^{2} + (- 1 + 21) t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{7 t^{2} - 1 t + 21 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{(7 t^{2} - 1 t) + 21 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{t (7 t - 1) + 3 (7 t - 1)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 t - 1$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{(7 t - 1) (t + 3)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 5

Сократим общий множитель $t + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $t + 3$ из $(3 t - 1) (t + 3)$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(t + 3) (3 t - 1)} \cdot \frac{(7 t - 1) (t + 3)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $t + 3$ из $(7 t - 1) (t + 3)$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(t + 3) (3 t - 1)} \cdot \frac{(t + 3) (7 t - 1)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 19 t + 7}{(t + 3) (3 t - 1)} \cdot \frac{(t + 3) (7 t - 1)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 19 t + 7}{3 t - 1} \cdot \frac{7 t - 1}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Этап 6

Умножим $\frac{- 19 t + 7}{3 t - 1}$ на $\frac{7 t - 1}{2 t^{2} - 10 t + 1}$ .

$\frac{(- 19 t + 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 19 t$ .

$\frac{(- (19 t) + 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 8

Перепишем $7$ в виде $- 1 (- 7)$ .

$\frac{(- (19 t) - 1 (- 7)) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (19 t) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (19 t - 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 10

Перепишем $- (19 t - 7)$ в виде $- 1 (19 t - 7)$ .

$\frac{- 1 (19 t - 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(19 t - 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 12

Развернем $(19 t - 7) (7 t - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{19 t (7 t - 1) - 7 (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{19 t (7 t) + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{19 t (7 t) + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{19 \cdot 7 t \cdot t + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 13.1.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Перенесем $t$ .

$- \frac{19 \cdot 7 (t \cdot t) + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 13.1.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$- \frac{19 \cdot 7 t^{2} + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 13.1.3

Умножим $19$ на $7$ .

$- \frac{133 t^{2} + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 13.1.4

Умножим $- 1$ на $19$ .

$- \frac{133 t^{2} - 19 t - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 13.1.5

Умножим $7$ на $- 7$ .

$- \frac{133 t^{2} - 19 t - 49 t - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 13.1.6

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$- \frac{133 t^{2} - 19 t - 49 t + 7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 13.2

Вычтем $49 t$ из $- 19 t$ .

$- \frac{133 t^{2} - 68 t + 7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Этап 14

Разобьем дробь $\frac{133 t^{2} - 68 t + 7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$ на две дроби.

$- (\frac{133 t^{2} - 68 t}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} + \frac{7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)})$

Этап 15

Разобьем дробь $\frac{133 t^{2} - 68 t}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$ на две дроби.

$- (\frac{133 t^{2}}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} + \frac{- 68 t}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} + \frac{7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)})$

Этап 16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{133 t^{2}}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} - \frac{68 t}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} + \frac{7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)})$