Основы алгебры Примеры

$\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$

Этап 1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$ на $\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$

Этап 2

Умножим $\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$ на $\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{(6 + 2 \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}$

Этап 3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{36 - 12 \sqrt{5} + 12 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{16}$

Этап 5

Сократим общий множитель $6 - 2 \sqrt{5}$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2$ из $(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})$ .

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{16}$

Этап 5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{2 (8)}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{2 \cdot 8}$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}{8}$

Этап 6

Развернем $(2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 - \sqrt{5})}{8}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 - \sqrt{5})}{8}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Этап 7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Этап 7.1.3

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{5}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Этап 7.1.4

Умножим $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{8}$

Этап 7.1.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{8}$

Этап 7.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{8}$

Этап 7.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{8}$

Этап 7.1.5

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Этап 7.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Этап 7.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{8}$

Этап 7.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{8}$

Этап 7.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{1}}{8}$

Этап 7.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{8}$

Этап 7.1.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5}{8}$

Этап 7.2

Вычтем $5$ из $6$ .

$\frac{1 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5}}{8}$

Этап 7.3

Добавим $- 2 \sqrt{5}$ и $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{8}$

Этап 8

Разобьем дробь $\frac{1 + \sqrt{5}}{8}$ на две дроби.

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8}$

Десятичная форма:

$0.40450849 \dots$