Основы алгебры Примеры

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \div \frac{x^{2} + 6 x + 5}{2 x^{2} - 7 x + 3}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 (x) + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 2.1.2

Запишем $3$ как $1$ плюс $2$

$\frac{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 3

Разложим $x^{2} + 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $2$ .

$- 3, 5$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 (x) + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 4.1.2

Запишем $- 7$ как $- 1$ плюс $- 6$

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 1 - 6) x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x^{2} - 1 x) - 6 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{x^{2} + 6 x + 5}$

Этап 5

Разложим $x^{2} + 6 x + 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $5$ , а сумма — $6$ .

$1, 5$

Этап 5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (2 x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{x + 5}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $(2 x - 1) (x - 3)$ .

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 3) (2 x - 1)}{x + 5}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 3) (2 x - 1)}{x + 5}$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x + 1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{x + 5}$

Этап 8

Умножим $\frac{2 x + 1}{x + 5}$ на $\frac{2 x - 1}{x + 5}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(x + 5) (x + 5)}$

Этап 9

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1} (x + 5)}$

Этап 10

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1}}$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1 + 1}}$

Этап 12

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 13

Развернем $(2 x + 1) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 14

Объединим противоположные члены в $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Изменим порядок множителей в членах $2 x \cdot - 1$ и $1 (2 x)$ .

$\frac{2 x (2 x) - 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 14.2

Добавим $- 1 \cdot 2 x$ и $1 \cdot 2 x$ .

$\frac{2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 14.3

Добавим $2 x (2 x)$ и $0$ .

$\frac{2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 15.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 15.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 15.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 15.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 16

Разобьем дробь $\frac{4 x^{2} - 1}{{(x + 5)}^{2}}$ на две дроби.

$\frac{4 x^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{- 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4 x^{2}}{{(x + 5)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$