Основы алгебры Примеры

$\frac{2 \sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} - 1}$

Этап 1

Умножим $\frac{2 \sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} - 1}$ на $\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1}$

Этап 2

Умножим $\frac{2 \sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} - 1}$ на $\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1}$ .

$\frac{(2 \sqrt{5} - 3) (\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1)}$

Этап 3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(2 \sqrt{5} - 3) (\sqrt{5} + 1)}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{5} - \sqrt{5} - 1}$

Этап 4

Упростим.

$\frac{(2 \sqrt{5} - 3) (\sqrt{5} + 1)}{4}$

Этап 5

Развернем $(2 \sqrt{5} - 3) (\sqrt{5} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{5} (\sqrt{5} + 1) - 3 (\sqrt{5} + 1)}{4}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \cdot 1 - 3 (\sqrt{5} + 1)}{4}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \cdot 1 - 3 \sqrt{5} - 3 \cdot 1}{4}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $2 \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} \cdot 1 - 3 \sqrt{5} - 3 \cdot 1}{4}$

Этап 6.1.1.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + 2 \sqrt{5} \cdot 1 - 3 \sqrt{5} - 3 \cdot 1}{4}$

Этап 6.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{5} \cdot 1 - 3 \sqrt{5} - 3 \cdot 1}{4}$

Этап 6.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{5}}^{2} + 2 \sqrt{5} \cdot 1 - 3 \sqrt{5} - 3 \cdot 1}{4}$

Этап 6.1.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{5} \cdot 1 - 3 \sqrt{5} - 3 \cdot 1}{4}$

Этап 6.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{5} \cdot 1 - 3 \sqrt{5} - 3 \cdot 1}{4}$

Этап 6.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} \cdot 1 - 3 \sqrt{5} - 3 \cdot 1}{4}$

Этап 6.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} \cdot 1 - 3 \sqrt{5} - 3 \cdot 1}{4}$

Этап 6.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot 5^{1} + 2 \sqrt{5} \cdot 1 - 3 \sqrt{5} - 3 \cdot 1}{4}$

Этап 6.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \cdot 5 + 2 \sqrt{5} \cdot 1 - 3 \sqrt{5} - 3 \cdot 1}{4}$

Этап 6.1.3

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 + 2 \sqrt{5} \cdot 1 - 3 \sqrt{5} - 3 \cdot 1}{4}$

Этап 6.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{10 + 2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} - 3 \cdot 1}{4}$

Этап 6.1.5

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{10 + 2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} - 3}{4}$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из $10$ .

$\frac{7 + 2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5}}{4}$

Этап 6.3

Вычтем $3 \sqrt{5}$ из $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{7 - \sqrt{5}}{4}$

Этап 7

Разобьем дробь $\frac{7 - \sqrt{5}}{4}$ на две дроби.

$\frac{7}{4} + \frac{- \sqrt{5}}{4}$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{7}{4} - \frac{\sqrt{5}}{4}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7}{4} - \frac{\sqrt{5}}{4}$

Десятичная форма:

$1.19098300 \dots$