Основы алгебры Примеры

$\frac{12 x^{5} - 35 x^{4} + 31 x^{3} - 11 x^{2} + 4 x - 6}{3 x^{2} - 5 x + 3}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x^{2}$ .

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x^{5} - 20 x^{4} + 12 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x^{2}$ .

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

$15 x^{4}$

$25 x^{3}$

$15 x^{2}$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 x^{4} + 25 x^{3} - 15 x^{2}$ .

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

$15 x^{4}$

$25 x^{3}$

$15 x^{2}$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

$15 x^{4}$

$25 x^{3}$

$15 x^{2}$

$6 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

$15 x^{4}$

$25 x^{3}$

$15 x^{2}$

$6 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x^{2}$ .

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

$15 x^{4}$

$25 x^{3}$

$15 x^{2}$

$6 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

$15 x^{4}$

$25 x^{3}$

$15 x^{2}$

$6 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x$ .

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

$15 x^{4}$

$25 x^{3}$

$15 x^{2}$

$6 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

$15 x^{4}$

$25 x^{3}$

$15 x^{2}$

$6 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$6 x^{2}$

$10 x$

Этап 16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

$15 x^{4}$

$25 x^{3}$

$15 x^{2}$

$6 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$6 x^{2}$

$10 x$

$6$

Этап 17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x^{2}$ .

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$2$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

$15 x^{4}$

$25 x^{3}$

$15 x^{2}$

$6 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$6 x^{2}$

$10 x$

$6$

Этап 18

Умножим новое частное на делитель.

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$2$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

$15 x^{4}$

$25 x^{3}$

$15 x^{2}$

$6 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$6 x^{2}$

$10 x$

$6$

$6 x^{2}$

$10 x$

$6$

Этап 19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} + 10 x - 6$ .

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$2$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

$15 x^{4}$

$25 x^{3}$

$15 x^{2}$

$6 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$6 x^{2}$

$10 x$

$6$

$6 x^{2}$

$10 x$

$6$

Этап 20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$2$

$3 x^{2}$

$5 x$

$3$

$12 x^{5}$

$35 x^{4}$

$31 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x$

$6$

$12 x^{5}$

$20 x^{4}$

$12 x^{3}$

$15 x^{4}$

$19 x^{3}$

$11 x^{2}$

$15 x^{4}$

$25 x^{3}$

$15 x^{2}$

$6 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$6 x^{2}$

$10 x$

$6$

$6 x^{2}$

$10 x$

$6$

$0$

Этап 21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 2$