Основы алгебры Примеры

$\frac{10 x^{3} + 12 x^{2} - 31 x + 12}{5 x - 4}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$5 x$

$4$

$10 x^{3}$

$12 x^{2}$

$31 x$

$12$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

					$2 x^{2}$
	$5 x$	-	$4$		$10 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$12$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$10 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$12$
			+	$10 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x^{3} - 8 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$10 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$12$
			-	$10 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$10 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$12$
			-	$10 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$10 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$12$
			-	$10 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	-	$31 x$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $20 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$10 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$12$
			-	$10 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	-	$31 x$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$10 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$12$
			-	$10 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $20 x^{2} - 16 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$10 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$12$
			-	$10 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$20 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$10 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$12$
			-	$10 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$20 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$15 x$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$10 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$12$
			-	$10 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$20 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$10 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$12$
			-	$10 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$20 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$10 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$12$
			-	$10 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$20 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$
							-	$15 x$	+	$12$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 x + 12$ .

				$2 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$10 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$12$
			-	$10 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$20 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$
							+	$15 x$	-	$12$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$10 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$12$
			-	$10 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$20 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$
							+	$15 x$	-	$12$
										$0$

Этап 16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + 4 x - 3$