Основы алгебры Примеры

$\frac{1 + a z^{- 1} + c z^{- 2}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + a \frac{1}{z} + c z^{- 2}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Этап 1.2

Объединим $a$ и $\frac{1}{z}$ .

$\frac{1 + \frac{a}{z} + c z^{- 2}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Этап 1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + \frac{a}{z} + c \frac{1}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Этап 1.4

Объединим $c$ и $\frac{1}{z^{2}}$ .

$\frac{1 + \frac{a}{z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Этап 1.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{z}{z} + \frac{a}{z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{z + a}{z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Этап 1.7

Чтобы записать $\frac{z + a}{z}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{z + a}{z} \cdot \frac{z}{z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Этап 1.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $z^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Умножим $\frac{z + a}{z}$ на $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{(z + a) z}{z \cdot z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Этап 1.8.2

Умножим $z$ на $z$ .

$\frac{\frac{(z + a) z}{z^{2}} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Этап 1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{(z + a) z + c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Этап 1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{z \cdot z + a z + c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Этап 1.10.2

Умножим $z$ на $z$ .

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $z^{- 2}$ из $(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $z^{- 2}$ из $(d - a b) z^{- 1}$ .

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{z^{- 2} ((d - a b) z) - c b z^{- 2}}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $z^{- 2}$ из $- c b z^{- 2}$ .

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{z^{- 2} ((d - a b) z) + z^{- 2} (- c b)}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $z^{- 2}$ из $z^{- 2} ((d - a b) z) + z^{- 2} (- c b)$ .

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{z^{- 2} ((d - a b) z - c b)}$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{z^{- 2} (d z - a b z - c b)}$

Этап 2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{\frac{1}{z^{2}} (d z - a b z - c b)}$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{z^{2}} (d z - a b z - c b)}$

Этап 4

Вынесем множитель $\frac{1}{z^{2}}$ из $\frac{1}{\frac{1}{z^{2}} (d z - a b z - c b)}$ .

$\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}} (z^{2} \frac{1}{d z - a b z - c b})$

Этап 5

Сократим общий множитель $z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}} (z^{2} \frac{1}{d z - a b z - c b})$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$(z^{2} + a z + c) \frac{1}{d z - a b z - c b}$

Этап 6

Умножим $z^{2} + a z + c$ на $\frac{1}{d z - a b z - c b}$ .

$\frac{z^{2} + a z + c}{d z - a b z - c b}$

Этап 7

Разобьем дробь $\frac{z^{2} + a z + c}{d z - a b z - c b}$ на две дроби.

$\frac{z^{2} + a z}{d z - a b z - c b} + \frac{c}{d z - a b z - c b}$

Этап 8

Разобьем дробь $\frac{z^{2} + a z}{d z - a b z - c b}$ на две дроби.

$\frac{z^{2}}{d z - a b z - c b} + \frac{a z}{d z - a b z - c b} + \frac{c}{d z - a b z - c b}$