Основы алгебры Примеры

$\frac{x^{2} + x - 20}{x^{2} - 7 x + 12} \div \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x^{2} - 6 x + 9}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{x^{2} + x - 20}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 2

Разложим $x^{2} + x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $1$ .

$- 4, 5$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 3

Разложим $x^{2} - 7 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 7$ .

$- 4, - 3$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{(x - 4) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{(x - 4) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 3^{2}}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 5.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 6

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Этап 6.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 6.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Этап 6.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x + 5$ из ${(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 5) (x + 5)}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 5}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 5) (x + 5)}$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{x + 5}$

Этап 8

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x - 3$ из ${(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3) (x - 3)}{x + 5}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3) (x - 3)}{x + 5}$

Этап 8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 3}{x + 5}$