Основы алгебры Примеры

$\frac{x^{2} - 6 x - 27}{3 x^{2} - 243} \div \frac{x^{2} + 12 x + 27}{x^{2} + 18 x + 81}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{x^{2} - 6 x - 27}{3 x^{2} - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Этап 2

Разложим $x^{2} - 6 x - 27$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 27$ , а сумма — $- 6$ .

$- 9, 3$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 x^{2} - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 243$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2}) - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 243$ .

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 81} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 \cdot - 81$ .

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2} - 81)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Этап 3.2

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2} - 9^{2})} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Этап 3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 9$ .

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x + 9) (x - 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Этап 4

Сократим общий множитель $x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x + 9) (x - 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 9^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

Этап 5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Этап 5.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

Этап 5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 9$ .

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

Этап 6

Разложим $x^{2} + 12 x + 27$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $27$ , а сумма — $12$ .

$3, 9$

Этап 6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 3) (x + 9)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 3) (x + 9)}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x + 9}$

Этап 8

Сократим общий множитель $x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x + 9$ из $3 (x + 9)$ .

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x + 9}$

Этап 8.2

Вынесем множитель $x + 9$ из ${(x + 9)}^{2}$ .

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 9) (x + 9)}{x + 9}$

Этап 8.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 9) (x + 9)}{x + 9}$

Этап 8.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x + 9}{x + 9}$

Этап 9

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{x + 9}{3 (x + 9)}$

Этап 10

Сократим общий множитель $x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 9}{3 (x + 9)}$

Этап 10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{3}$