Основы алгебры Примеры

$\frac{3 m^{5} + m - 1}{m + 1}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 m^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $m$ .

$3 m^{4}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

$3 m^{4}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 m^{5} + 3 m^{4}$ .

$3 m^{4}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 m^{4}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 m^{4}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 m^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $m$ .

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 m^{4} - 3 m^{3}$ .

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 m^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $m$ .

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 m^{3} + 3 m^{2}$ .

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

Этап 16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

Этап 17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 m^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $m$ .

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$3 m$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

Этап 18

Умножим новое частное на делитель.

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$3 m$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

$3 m^{2}$

$3 m$

Этап 19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 m^{2} - 3 m$ .

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$3 m$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

$3 m^{2}$

$3 m$

Этап 20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$3 m$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

$3 m^{2}$

$3 m$

$4 m$

Этап 21

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$3 m$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

$3 m^{2}$

$3 m$

$4 m$

$1$

Этап 22

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 m$ на член с максимальной степенью в делителе $m$ .

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$3 m$

$4$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

$3 m^{2}$

$3 m$

$4 m$

$1$

Этап 23

Умножим новое частное на делитель.

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$3 m$

$4$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

$3 m^{2}$

$3 m$

$4 m$

$1$

$4 m$

$4$

Этап 24

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 m + 4$ .

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$3 m$

$4$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

$3 m^{2}$

$3 m$

$4 m$

$1$

$4 m$

$4$

Этап 25

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$3 m$

$4$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$0 m^{4}$

$0 m^{3}$

$0 m^{2}$

$m$

$1$

$3 m^{5}$

$3 m^{4}$

$0 m^{3}$

$3 m^{4}$

$3 m^{3}$

$0 m^{2}$

$3 m^{3}$

$3 m^{2}$

$m$

$3 m^{2}$

$3 m$

$4 m$

$1$

$4 m$

$4$

$5$

Этап 26

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 m^{4} - 3 m^{3} + 3 m^{2} - 3 m + 4 - \frac{5}{m + 1}$