Основы алгебры Примеры

$\frac{\frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 6 x + 9}}{\frac{1}{x + 5}}$

Этап 1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 6 x + 9} (x + 5)$

Этап 2

Разложим $x^{2} + 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $4$ .

$- 1, 5$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} - 6 x + 9} (x + 5)$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} - 6 x + 3^{2}} (x + 5)$

Этап 3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 3.3

Перепишем многочлен.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} (x + 5)$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} (x + 5)$

Этап 4

Умножим $\frac{(x - 1) (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}}$ на $x + 5$ .

$\frac{(x - 1) (x + 5) (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$\frac{(x - 1) ({(x + 5)}^{1} (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 5.2

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$\frac{(x - 1) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x - 1) {(x + 5)}^{1 + 1}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(x - 1) {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 6

Перепишем ${(x + 5)}^{2}$ в виде $(x + 5) (x + 5)$ .

$\frac{(x - 1) ((x + 5) (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 7

Развернем $(x + 5) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 1) (x (x + 5) + 5 (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 8.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 8.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 5 x + 25)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 8.2

Добавим $5 x$ и $5 x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 10 x + 25)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 9

Развернем $(x - 1) (x^{2} + 10 x + 25)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 10.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 2} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 10.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x^{3} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 10.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 10.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{3} + 10 (x \cdot x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 10.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 10.4

Перенесем $25$ влево от $x$ .

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 \cdot x - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 10.5

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x - x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 10.6

Умножим $10$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x - x^{2} - 10 x - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 10.7

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x - x^{2} - 10 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 11

Вычтем $x^{2}$ из $10 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 25 x - 10 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 12

Вычтем $10 x$ из $25 x$ .

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 13

Разобьем дробь $\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$ на две дроби.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 14

Разобьем дробь $\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x}{{(x - 3)}^{2}}$ на две дроби.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{15 x}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 15

Разобьем дробь $\frac{x^{3} + 9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ на две дроби.

$\frac{x^{3}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{15 x}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{3}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{15 x}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{25}{{(x - 3)}^{2}}$