Основы алгебры Примеры

$\frac{f^{2} - 9}{- f^{3} + 6 f^{2}} \div \frac{- 9 f - 27}{f^{2} - 12 f + 36}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{f^{2} - 9}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{f^{2} - 3^{2}}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = f$ и $b = 3$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Этап 3

Вынесем множитель $f^{2}$ из $- f^{3} + 6 f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $f^{2}$ из $- f^{3}$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f) + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $f^{2}$ из $6 f^{2}$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f) + f^{2} \cdot 6} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $f^{2}$ из $f^{2} (- f) + f^{2} \cdot 6$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Этап 4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 6^{2}}{- 9 f - 27}$

Этап 4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$12 f = 2 \cdot f \cdot 6$

Этап 4.3

Перепишем многочлен.

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 2 \cdot f \cdot 6 + 6^{2}}{- 9 f - 27}$

Этап 4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = f$ и $b = 6$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{- 9 f - 27}$

Этап 5

Вынесем множитель $9$ из $- 9 f - 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9 f$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f) - 27}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $9$ из $- 27$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f) + 9 (- 3)}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (- f) + 9 (- 3)$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f - 3)}$

Этап 6

Объединим.

$\frac{(f + 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Этап 7

Сократим общий множитель $f + 3$ и $- f - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $f$ .

$\frac{(- 1 (- f) + 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Этап 7.2

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{(- 1 (- f) - 1 (- 3)) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- f) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- 1 (- f - 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (- f - 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Этап 7.5

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 1 (f - 3)) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Этап 8

Сократим общий множитель ${(f - 6)}^{2}$ и $- f + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $f$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f) - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Этап 8.2

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f) - 1 (6))}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- f) - 1 (6)$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f + 6))}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Этап 8.4

Применим правило умножения к $- 1 (- f + 6)$ .

$\frac{- 1 (f - 3) ({(- 1)}^{2} {(- f + 6)}^{2})}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Этап 8.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{- 1 (f - 3) (1 {(- f + 6)}^{2})}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Этап 8.6

Умножим ${(- f + 6)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- f + 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Этап 8.7

Вынесем множитель $- f + 6$ из $- 1 (f - 3) {(- f + 6)}^{2}$ .

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{f^{2} (- f + 6) \cdot 9}$

Этап 8.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Вынесем множитель $- f + 6$ из $f^{2} (- f + 6) \cdot 9$ .

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{(- f + 6) (f^{2} \cdot 9)}$

Этап 8.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{(- f + 6) (f^{2} \cdot 9)}$

Этап 8.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (f - 3) (- f + 6)}{f^{2} \cdot 9}$

Этап 9

Перенесем $9$ влево от $f^{2}$ .

$\frac{- 1 (f - 3) (- f + 6)}{9 \cdot f^{2}}$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(f - 3) (- f + 6)}{9 \cdot f^{2}}$

Этап 11

Вынесем множитель $- 1$ из $- f$ .

$- \frac{(f - 3) (- (f) + 6)}{9 f^{2}}$

Этап 12

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$- \frac{(f - 3) (- (f) - 1 (- 6))}{9 f^{2}}$

Этап 13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (f) - 1 (- 6)$ .

$- \frac{(f - 3) (- (f - 6))}{9 f^{2}}$

Этап 14

Перепишем $- (f - 6)$ в виде $- 1 (f - 6)$ .

$- \frac{(f - 3) (- 1 (f - 6))}{9 f^{2}}$

Этап 15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Этап 16

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Этап 17

Умножим $\frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$ на $1$ .

$\frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Этап 18

Развернем $(f - 3) (f - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{f (f - 6) - 3 (f - 6)}{9 f^{2}}$

Этап 18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{f \cdot f + f \cdot - 6 - 3 (f - 6)}{9 f^{2}}$

Этап 18.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{f \cdot f + f \cdot - 6 - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Этап 19

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Умножим $f$ на $f$ .

$\frac{f^{2} + f \cdot - 6 - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Этап 19.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $f$ .

$\frac{f^{2} - 6 \cdot f - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Этап 19.1.3

Умножим $- 3$ на $- 6$ .

$\frac{f^{2} - 6 f - 3 f + 18}{9 f^{2}}$

Этап 19.2

Вычтем $3 f$ из $- 6 f$ .

$\frac{f^{2} - 9 f + 18}{9 f^{2}}$

Этап 20

Разобьем дробь $\frac{f^{2} - 9 f + 18}{9 f^{2}}$ на две дроби.

$\frac{f^{2} - 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Этап 21

Разобьем дробь $\frac{f^{2} - 9 f}{9 f^{2}}$ на две дроби.

$\frac{f^{2}}{9 f^{2}} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Этап 22

Сократим общий множитель $f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f^{2}}{9 f^{2}} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Этап 22.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Этап 23

Сократим общий множитель $- 9$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9 f$ .

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Этап 23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9 f^{2}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 (f^{2})} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Этап 23.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Этап 23.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9} + \frac{- f}{f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Этап 24

Сократим общий множитель $f$ и $f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Вынесем множитель $f$ из $- f$ .

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Этап 24.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Вынесем множитель $f$ из $f^{2}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f \cdot f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Этап 24.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f \cdot f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Этап 24.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9} + \frac{- 1}{f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Этап 25

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Этап 26

Сократим общий множитель $18$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 f^{2}}$

Этап 26.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9 f^{2}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 (f^{2})}$

Этап 26.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 f^{2}}$

Этап 26.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{2}{f^{2}}$