Основы алгебры Примеры

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

Этап 1

Умножим $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$

Этап 2

Умножим $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}$

Этап 3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{{\sqrt{7}}^{2} + \sqrt{21} - \sqrt{21} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{1} (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Этап 5.2

Возведем $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{1} {(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{1}}{4}$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{4}$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Этап 6

Перепишем ${(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})$ .

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Этап 7

Развернем $(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{7} (\sqrt{7} + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Этап 8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{7 \cdot 7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.1.2

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{\sqrt{49} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.1.3

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2}} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{7 + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{7 + \sqrt{7 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.1.6

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.1.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{3 \cdot 7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.1.8

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.1.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}$

Этап 8.1.10

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{9}}{4}$

Этап 8.1.11

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{3^{2}}}{4}$

Этап 8.1.12

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + 3}{4}$

Этап 8.2

Добавим $7$ и $3$ .

$\frac{10 + \sqrt{21} + \sqrt{21}}{4}$

Этап 8.3

Добавим $\sqrt{21}$ и $\sqrt{21}$ .

$\frac{10 + 2 \sqrt{21}}{4}$

Этап 9

Сократим общий множитель $10 + 2 \sqrt{21}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 \cdot 5 + 2 \sqrt{21}}{4}$

Этап 9.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{21}$ .

$\frac{2 \cdot 5 + 2 (\sqrt{21})}{4}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 5 + 2 (\sqrt{21})$ .

$\frac{2 \cdot (5 + \sqrt{21})}{4}$

Этап 9.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot (5 + \sqrt{21})}{2 (2)}$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot (5 + \sqrt{21})}{2 \cdot 2}$

Этап 9.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

Этап 10

Разобьем дробь $\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$ на две дроби.

$\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$

Десятичная форма:

$4.79128784 \dots$