Основы алгебры Примеры

$\frac{\sqrt{11} - \sqrt{2}}{\sqrt{11} + \sqrt{2}}$

Этап 1

Умножим $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{2}}{\sqrt{11} + \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{2}}{\sqrt{11} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{11} - \sqrt{2}}{\sqrt{11} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{11} - \sqrt{2}}{\sqrt{11} - \sqrt{2}}$

Этап 2

Умножим $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{2}}{\sqrt{11} + \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{2}}{\sqrt{11} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})}{(\sqrt{11} + \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})}$

Этап 3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})}{{\sqrt{11}}^{2} - \sqrt{22} + \sqrt{22} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})}{9}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $\sqrt{11} - \sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{11} - \sqrt{2})}{9}$

Этап 5.2

Возведем $\sqrt{11} - \sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{11} - \sqrt{2})}^{1}}{9}$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{9}$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{2})}^{2}}{9}$

Этап 6

Перепишем ${(\sqrt{11} - \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(\sqrt{11} - \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})}{9}$

Этап 7

Развернем $(\sqrt{11} - \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{11} (\sqrt{11} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{11} - \sqrt{2})}{9}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{11} - \sqrt{2})}{9}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{11} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Этап 8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{11 \cdot 11} + \sqrt{11} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{11} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Этап 8.1.2

Умножим $11$ на $11$ .

$\frac{\sqrt{121} + \sqrt{11} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{11} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Этап 8.1.3

Перепишем $121$ в виде $11^{2}$ .

$\frac{\sqrt{11^{2}} + \sqrt{11} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{11} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Этап 8.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{11 + \sqrt{11} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{11} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Этап 8.1.5

Умножим $\sqrt{11} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{11 - \sqrt{11 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{11} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Этап 8.1.5.2

Умножим $11$ на $2$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{2} \sqrt{11} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Этап 8.1.6

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{11 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Этап 8.1.6.2

Умножим $11$ на $2$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Этап 8.1.7

Умножим $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{9}$

Этап 8.1.7.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{9}$

Этап 8.1.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{9}$

Этап 8.1.7.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{9}$

Этап 8.1.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{9}$

Этап 8.1.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + {\sqrt{2}}^{2}}{9}$

Этап 8.1.8

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Этап 8.1.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Этап 8.1.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + 2^{\frac{2}{2}}}{9}$

Этап 8.1.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + 2^{\frac{2}{2}}}{9}$

Этап 8.1.8.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + 2^{1}}{9}$

Этап 8.1.8.5

Найдем экспоненту.

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + 2}{9}$

Этап 8.2

Добавим $11$ и $2$ .

$\frac{13 - \sqrt{22} - \sqrt{22}}{9}$

Этап 8.3

Вычтем $\sqrt{22}$ из $- \sqrt{22}$ .

$\frac{13 - 2 \sqrt{22}}{9}$

Этап 9

Разобьем дробь $\frac{13 - 2 \sqrt{22}}{9}$ на две дроби.

$\frac{13}{9} + \frac{- 2 \sqrt{22}}{9}$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{13}{9} - \frac{2 \sqrt{22}}{9}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{13}{9} - \frac{2 \sqrt{22}}{9}$

Десятичная форма:

$0.40212983 \dots$