Основы алгебры Примеры

$\frac{\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 8 x + 16}}{x + 1}}{x^{2} - 16}$

Этап 1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 8 x + 16}}{x + 1} \cdot \frac{1}{x^{2} - 16}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 8 x + 16} \cdot \frac{1}{x + 1} \frac{1}{x^{2} - 16}$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{x^{2} - 8 x + 16} \cdot \frac{1}{x + 1} \frac{1}{x^{2} - 16}$

Этап 3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 3.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x^{2} - 8 x + 16} \cdot \frac{1}{x + 1} \frac{1}{x^{2} - 16}$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 8 x + 16} \cdot \frac{1}{x + 1} \frac{1}{x^{2} - 16}$

Этап 4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 8 x + 4^{2}} \cdot \frac{1}{x + 1} \frac{1}{x^{2} - 16}$

Этап 4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 4.3

Перепишем многочлен.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}} \cdot \frac{1}{x + 1} \frac{1}{x^{2} - 16}$

Этап 4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{1}{x + 1} \frac{1}{x^{2} - 16}$

Этап 5

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{1}{x + 1} \frac{1}{x^{2} - 16}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{1}{x + 1} \frac{1}{x^{2} - 16}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 16}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{x + 1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 4^{2}}$

Этап 6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{x + 1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{1}{(x + 4) (x - 4)}$

Этап 7

Умножим $\frac{x + 1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{1}{(x + 4) (x - 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{x + 1}{{(x - 4)}^{2}}$ на $\frac{1}{(x + 4) (x - 4)}$ .

$\frac{x + 1}{{(x - 4)}^{2} ((x + 4) (x - 4))}$

Этап 7.2

Умножим ${(x - 4)}^{2}$ на $x - 4$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перенесем $x - 4$ .

$\frac{x + 1}{(x - 4) {(x - 4)}^{2} (x + 4)}$

Этап 7.2.2

Умножим $x - 4$ на ${(x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $x - 4$ в степень $1$ .

$\frac{x + 1}{{(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{2} (x + 4)}$

Этап 7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x + 1}{{(x - 4)}^{1 + 2} (x + 4)}$

Этап 7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x + 1}{{(x - 4)}^{3} (x + 4)}$

Этап 8

Разобьем дробь $\frac{x + 1}{{(x - 4)}^{3} (x + 4)}$ на две дроби.

$\frac{x}{{(x - 4)}^{3} (x + 4)} + \frac{1}{{(x - 4)}^{3} (x + 4)}$