Основы алгебры Примеры

$\frac{\frac{\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1}}{p^{2} + p}}{p^{2} + p - 2}$

Этап 1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1}}{p^{2} + p} \cdot \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 3

Разложим $p^{2} - 4 p - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} - p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- p$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} - (p) - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 4.1.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + (1 - 2) p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + 1 p - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 4.1.4

Умножим $p$ на $1$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + p - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p^{2} + p) - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{p (2 p + 1) - (2 p + 1)} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 p + 1$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 5

Вынесем множитель $p$ из $p^{2} + p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $p$ из $p^{2}$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 5.2

Возведем $p$ в степень $1$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p^{1}} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $p$ из $p^{1}$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p \cdot 1} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $p$ из $p \cdot p + p \cdot 1$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p (p + 1)} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 6

Сократим общий множитель $p + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $p + 1$ из $(p - 5) (p + 1)$ .

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p (p + 1)} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $p + 1$ из $p (p + 1)$ .

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{(p + 1) p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{(p + 1) p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 7

Умножим $\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1)}$ на $\frac{1}{p}$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Этап 8

Разложим $p^{2} + p - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 8.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$

Этап 9

Умножим $\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p}$ на $\frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p ((p - 1) (p + 2))}$

Этап 9.2

Возведем $p - 1$ в степень $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} (p - 1) (p + 2))}$

Этап 9.3

Возведем $p - 1$ в степень $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} {(p - 1)}^{1} (p + 2))}$

Этап 9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1 + 1} (p + 2))}$

Этап 9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{2} (p + 2))}$

Этап 10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p ((p - 1) (p + 2))}$

Этап 10.2

Возведем $p - 1$ в степень $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} (p - 1) (p + 2))}$

Этап 10.3

Возведем $p - 1$ в степень $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} {(p - 1)}^{1} (p + 2))}$

Этап 10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1 + 1} (p + 2))}$

Этап 10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{2} (p + 2))}$

Этап 10.6

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Этап 11

Изменим порядок множителей в $\frac{p - 5}{(2 p + 1) p {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$ .

$\frac{p - 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Этап 12

Разобьем дробь $\frac{p - 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$ на две дроби.

$\frac{p}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Этап 13

Сократим общий множитель $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель.

$\frac{p}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Этап 13.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Этап 14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{(2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} - \frac{5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$