Основы алгебры Примеры

$(3 r^{4} - 10 r^{3} + 12 r + 10) \div (r - 2)$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 r^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $r$ .

$3 r^{3}$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

$3 r^{3}$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 r^{4} - 6 r^{3}$ .

$3 r^{3}$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 r^{3}$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 r^{3}$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 r^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $r$ .

$3 r^{3}$

$4 r^{2}$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

$3 r^{3}$

$4 r^{2}$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

$4 r^{3}$

$8 r^{2}$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 r^{3} + 8 r^{2}$ .

$3 r^{3}$

$4 r^{2}$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

$4 r^{3}$

$8 r^{2}$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 r^{3}$

$4 r^{2}$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

$4 r^{3}$

$8 r^{2}$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 r^{3}$

$4 r^{2}$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

$4 r^{3}$

$8 r^{2}$

$12 r$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 r^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $r$ .

$3 r^{3}$

$4 r^{2}$

$8 r$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

$4 r^{3}$

$8 r^{2}$

$12 r$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

$3 r^{3}$

$4 r^{2}$

$8 r$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

$4 r^{3}$

$8 r^{2}$

$12 r$

$8 r^{2}$

$16 r$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 r^{2} + 16 r$ .

$3 r^{3}$

$4 r^{2}$

$8 r$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

$4 r^{3}$

$8 r^{2}$

$12 r$

$8 r^{2}$

$16 r$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 r^{3}$

$4 r^{2}$

$8 r$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

$4 r^{3}$

$8 r^{2}$

$12 r$

$8 r^{2}$

$16 r$

$4 r$

Этап 16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 r^{3}$

$4 r^{2}$

$8 r$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

$4 r^{3}$

$8 r^{2}$

$12 r$

$8 r^{2}$

$16 r$

$4 r$

$10$

Этап 17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 r$ на член с максимальной степенью в делителе $r$ .

$3 r^{3}$

$4 r^{2}$

$8 r$

$4$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

$4 r^{3}$

$8 r^{2}$

$12 r$

$8 r^{2}$

$16 r$

$4 r$

$10$

Этап 18

Умножим новое частное на делитель.

$3 r^{3}$

$4 r^{2}$

$8 r$

$4$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

$4 r^{3}$

$8 r^{2}$

$12 r$

$8 r^{2}$

$16 r$

$4 r$

$10$

$4 r$

$8$

Этап 19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 r + 8$ .

$3 r^{3}$

$4 r^{2}$

$8 r$

$4$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

$4 r^{3}$

$8 r^{2}$

$12 r$

$8 r^{2}$

$16 r$

$4 r$

$10$

$4 r$

$8$

Этап 20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 r^{3}$

$4 r^{2}$

$8 r$

$4$

$r$

$2$

$3 r^{4}$

$10 r^{3}$

$0 r^{2}$

$12 r$

$10$

$3 r^{4}$

$6 r^{3}$

$4 r^{3}$

$0 r^{2}$

$4 r^{3}$

$8 r^{2}$

$12 r$

$8 r^{2}$

$16 r$

$4 r$

$10$

$4 r$

$8$

$2$

Этап 21

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 r^{3} - 4 r^{2} - 8 r - 4 + \frac{2}{r - 2}$