Основы алгебры Примеры

$\frac{2 x^{4} - x^{3} - 15 x^{2} + 3 x}{x + 3}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{4} + 6 x^{3}$ .

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 7 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{4}$	-	$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					-	$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$7 x^{3}$	-	$21 x^{2}$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 7 x^{3} - 21 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$7 x^{3}$

$21 x^{2}$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$7 x^{3}$

$21 x^{2}$

$6 x^{2}$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$7 x^{3}$

$21 x^{2}$

$6 x^{2}$

$3 x$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$6 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$7 x^{3}$

$21 x^{2}$

$6 x^{2}$

$3 x$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$6 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$7 x^{3}$

$21 x^{2}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$6 x^{2}$

$18 x$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{2} + 18 x$ .

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$6 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$7 x^{3}$

$21 x^{2}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$6 x^{2}$

$18 x$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$6 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$7 x^{3}$

$21 x^{2}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$6 x^{2}$

$18 x$

$15 x$

Этап 16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$6 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$7 x^{3}$

$21 x^{2}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$6 x^{2}$

$18 x$

$15 x$

$0$

Этап 17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$6 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$7 x^{3}$

$21 x^{2}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$6 x^{2}$

$18 x$

$15 x$

$0$

Этап 18

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$6 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$7 x^{3}$

$21 x^{2}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$6 x^{2}$

$18 x$

$15 x$

$0$

$15 x$

$45$

Этап 19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 x - 45$ .

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$6 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$7 x^{3}$

$21 x^{2}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$6 x^{2}$

$18 x$

$15 x$

$0$

$15 x$

$45$

Этап 20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$6 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x$

$0$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$7 x^{3}$

$21 x^{2}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$6 x^{2}$

$18 x$

$15 x$

$0$

$15 x$

$45$

Этап 21

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$2 x^{3} - 7 x^{2} + 6 x - 15 + \frac{45}{x + 3}$