Основы алгебры Примеры

${(1 - \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (- \sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 4 \cdot 1^{3} (- \sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 4 \cdot 1 (- \sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$1 + 4 (- \sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$1 - 4 (\sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.5

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.6

Умножим $6$ на $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 ({(- \sqrt{3})}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.7.2

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.9

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.10

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Сократим общий множитель.

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.10.4.2

Перепишем это выражение.

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3^{1} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.10.5

Найдем экспоненту.

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3 i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.11

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3 \cdot - 1) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.12

Умножим $6 (3 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 \cdot - 3 + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.12.2

Умножим $6$ на $- 3$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.13

Умножим $4$ на $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.14

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 ({(- \sqrt{3})}^{3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.14.2

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.15

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.16

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{3^{3}} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.17

Возведем $3$ в степень $3$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{27} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.18

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{9 (3)} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.18.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.19

Вынесем члены из-под знака корня.

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- (3 \sqrt{3}) i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.20

Умножим $3$ на $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- 3 \sqrt{3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.21

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- 3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.22

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- 3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.23

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- 3 \sqrt{3} (- i)) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.24

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (3 \sqrt{3} i) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.25

Умножим $3$ на $4$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 (\sqrt{3} i) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Этап 2.26

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.26.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + {(- \sqrt{3})}^{4} i^{4}$

Этап 2.26.2

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} i^{4}$

Этап 2.27

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 1 {\sqrt{3}}^{4} i^{4}$

Этап 2.28

Умножим ${\sqrt{3}}^{4}$ на $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{4} i^{4}$

Этап 2.29

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.29.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{4}$

Этап 2.29.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{4}$

Этап 2.29.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{4}{2}} i^{4}$

Этап 2.29.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.29.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{4}$

Этап 2.29.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.29.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{4}$

Этап 2.29.4.2.2

Сократим общий множитель.

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{4}$

Этап 2.29.4.2.3

Перепишем это выражение.

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{1}} i^{4}$

Этап 2.29.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{2} i^{4}$

Этап 2.30

Возведем $3$ в степень $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9 i^{4}$

Этап 2.31

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9 {(i^{2})}^{2}$

Этап 2.31.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9 {(- 1)}^{2}$

Этап 2.31.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9 \cdot 1$

Этап 2.32

Умножим $9$ на $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9$

Этап 3

Вычтем $18$ из $1$ .

$- 4 \sqrt{3} i - 17 + 12 \sqrt{3} i + 9$

Этап 4

Добавим $- 4 \sqrt{3} i$ и $12 \sqrt{3} i$ .

$8 \sqrt{3} i - 17 + 9$

Этап 5

Добавим $- 17$ и $9$ .

$8 \sqrt{3} i - 8$

Этап 6

Изменим порядок $8 \sqrt{3} i$ и $- 8$ .

$- 8 + 8 \sqrt{3} i$