Основы алгебры Примеры

$\frac{y^{3} - y^{2} + y + 3}{y + 1}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$1$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$3$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	+	$1$		$y^{3}$	-	$y^{2}$	+	$y$	+	$3$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	-	$y^{2}$	+	$y$	+	$3$
			+	$y^{3}$	+	$y^{2}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y^{3} + y^{2}$ .

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	-	$y^{2}$	+	$y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	-	$y^{2}$	+	$y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$2 y^{2}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	-	$y^{2}$	+	$y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$2 y^{2}$	+	$y$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 y^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

				$y^{2}$	-	$2 y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	-	$y^{2}$	+	$y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$2 y^{2}$	+	$y$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

				$y^{2}$	-	$2 y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	-	$y^{2}$	+	$y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$2 y^{2}$	+	$y$
					-	$2 y^{2}$	-	$2 y$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 y^{2} - 2 y$ .

				$y^{2}$	-	$2 y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	-	$y^{2}$	+	$y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$2 y^{2}$	+	$y$
					+	$2 y^{2}$	+	$2 y$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$y^{2}$	-	$2 y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	-	$y^{2}$	+	$y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$2 y^{2}$	+	$y$
					+	$2 y^{2}$	+	$2 y$
							+	$3 y$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$y^{2}$	-	$2 y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	-	$y^{2}$	+	$y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$2 y^{2}$	+	$y$
					+	$2 y^{2}$	+	$2 y$
							+	$3 y$	+	$3$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

				$y^{2}$	-	$2 y$	+	$3$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	-	$y^{2}$	+	$y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$2 y^{2}$	+	$y$
					+	$2 y^{2}$	+	$2 y$
							+	$3 y$	+	$3$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

				$y^{2}$	-	$2 y$	+	$3$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	-	$y^{2}$	+	$y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$2 y^{2}$	+	$y$
					+	$2 y^{2}$	+	$2 y$
							+	$3 y$	+	$3$
							+	$3 y$	+	$3$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 y + 3$ .

				$y^{2}$	-	$2 y$	+	$3$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	-	$y^{2}$	+	$y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$2 y^{2}$	+	$y$
					+	$2 y^{2}$	+	$2 y$
							+	$3 y$	+	$3$
							-	$3 y$	-	$3$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$y^{2}$	-	$2 y$	+	$3$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	-	$y^{2}$	+	$y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$2 y^{2}$	+	$y$
					+	$2 y^{2}$	+	$2 y$
							+	$3 y$	+	$3$
							-	$3 y$	-	$3$
										$0$

Этап 16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$y^{2} - 2 y + 3$