Основы алгебры Примеры

$\frac{\frac{4 k^{2} - 3 k - 1}{4 k^{2} + 11 k + 7}}{\frac{16 k^{2} - 1}{4 k^{2} + 3 k - 7}}$

Этап 1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{4 k^{2} - 3 k - 1}{4 k^{2} + 11 k + 7} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 k$ .

$\frac{4 k^{2} - 3 (k) - 1}{4 k^{2} + 11 k + 7} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 2.1.2

Запишем $- 3$ как $1$ плюс $- 4$

$\frac{4 k^{2} + (1 - 4) k - 1}{4 k^{2} + 11 k + 7} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 k^{2} + 1 k - 4 k - 1}{4 k^{2} + 11 k + 7} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 2.1.4

Умножим $k$ на $1$ .

$\frac{4 k^{2} + k - 4 k - 1}{4 k^{2} + 11 k + 7} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(4 k^{2} + k) - 4 k - 1}{4 k^{2} + 11 k + 7} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{k (4 k + 1) - (4 k + 1)}{4 k^{2} + 11 k + 7} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 k + 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 11 k + 7} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ , а сумма — $b = 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $11$ из $11 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 11 (k) + 7} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 3.1.2

Запишем $11$ как $4$ плюс $7$

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + (4 + 7) k + 7} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 4 k + 7 k + 7} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(4 k^{2} + 4 k) + 7 k + 7} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k (k + 1) + 7 (k + 1)} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $k + 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 7)} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 7 = - 28$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 7)} \cdot \frac{4 k^{2} + 3 (k) - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 4.1.2

Запишем $3$ как $- 4$ плюс $7$

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 7)} \cdot \frac{4 k^{2} + (- 4 + 7) k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 7)} \cdot \frac{4 k^{2} - 4 k + 7 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 7)} \cdot \frac{(4 k^{2} - 4 k) + 7 k - 7}{16 k^{2} - 1}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 7)} \cdot \frac{4 k (k - 1) + 7 (k - 1)}{16 k^{2} - 1}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $k - 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 7)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 7)}{16 k^{2} - 1}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $16 k^{2}$ в виде ${(4 k)}^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 7)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 7)}{{(4 k)}^{2} - 1}$

Этап 5.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 7)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 7)}{{(4 k)}^{2} - 1^{2}}$

Этап 5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4 k$ и $b = 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 7)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 7)}{(4 k + 1) (4 k - 1)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $4 k + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 7)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 7)}{(4 k + 1) (4 k - 1)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{k - 1}{(k + 1) (4 k + 7)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 7)}{4 k - 1}$

Этап 7

Сократим общий множитель $4 k + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $4 k + 7$ из $(k + 1) (4 k + 7)$ .

$\frac{k - 1}{(4 k + 7) (k + 1)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 7)}{4 k - 1}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $4 k + 7$ из $(k - 1) (4 k + 7)$ .

$\frac{k - 1}{(4 k + 7) (k + 1)} \cdot \frac{(4 k + 7) (k - 1)}{4 k - 1}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{k - 1}{(4 k + 7) (k + 1)} \cdot \frac{(4 k + 7) (k - 1)}{4 k - 1}$

Этап 7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{k - 1}{k + 1} \cdot \frac{k - 1}{4 k - 1}$

Этап 8

Умножим $\frac{k - 1}{k + 1}$ на $\frac{k - 1}{4 k - 1}$ .

$\frac{(k - 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Этап 9

Возведем $k - 1$ в степень $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{1} (k - 1)}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Этап 10

Возведем $k - 1$ в степень $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{1} {(k - 1)}^{1}}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(k - 1)}^{1 + 1}}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Этап 12

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{2}}{(k + 1) (4 k - 1)}$