Основы алгебры Примеры

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \div \frac{{(a + b)}^{2}}{2 a^{2} + a b - b^{2}}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Изменим порядок членов.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} - b^{2} + a b}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2

Изменим порядок $- b^{2}$ и $a b$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $1$ из $a b$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + 1 (a b) - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 2.1.1.4

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + (- 1 + 2) (a b) - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 2.1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} - 1 (a b) + 2 (a b) - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 2.1.1.6

Перенесем круглые скобки.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} - 1 a b + 2 a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{(2 a^{2} - 1 a b) + 2 a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{a (2 a - 1 b) + b (2 a - b)}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 a - 1 b$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{(2 a - 1 b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 2.2

Перепишем $- 1 b$ в виде $- b$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 3

Вынесем множитель $- 1$ из $b$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{- 1 (- b) - 2 a}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 a$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{- 1 (- b) - (2 a)}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- b) - (2 a)$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{- 1 (- b + 2 a)}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 6

Перенесем знак минус из знаменателя $\frac{b^{2}}{- 1 (- b + 2 a)}$ в числитель.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{- b^{2}}{- b + 2 a}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{- b^{2}}{2 a - b}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a^{2} - b^{2}}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 9

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = b$ .

$\frac{(a + b) (a - b)}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Этап 10

Сократим общий множитель $a + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $a + b$ из ${(a + b)}^{2}$ .

$\frac{(a + b) (a - b)}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a + b)}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(a + b) (a - b)}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a + b)}$

Этап 10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{a - b}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{a + b}$

Этап 11

Сократим общий множитель $2 a - b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a - b}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{a + b}$

Этап 11.2

Перепишем это выражение.

$(a - b) \frac{a + b}{a + b}$

Этап 12

Сократим общий множитель $a + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сократим общий множитель.

$(a - b) \frac{a + b}{a + b}$

Этап 12.2

Перепишем это выражение.

$(a - b) \cdot 1$

Этап 13

Умножим $a - b$ на $1$ .

$a - b$